第6讲
【2013年高考会这样考】1．考查正、余弦定理的推导过程．
正弦定理和余弦定理
2．考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．3．考查利用正、余弦定理解任意三角形的方法．【复习指导】1．掌握正弦定理和余弦定理的推导方法．2．通过正、余定理变形技巧实现三角形中的边角转换，解题过程中做到正余弦定理的优化选择．
基础梳理1．正弦定理：＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以si
Asi
Bsi
C变形为：1a∶b∶c＝si
A∶si
B∶si
C；2a＝2Rsi
_A，b＝2Rsi
_B，c＝2Rsi
_C；3si
A＝，si
B＝，si
C＝等形式，以解决不同的三角形问题．2R2R2R2．余弦定理：a＝b＋c－2bccos_A，b＝a＋c－2accos_B，c＝a＋b－2abcos_C．余弦定理可以变形为：cosA＝
222222222
a
b
c
a
b
c
b2＋c2－a2a2＋c2－b2a2＋b2－c2，cosB＝，cosC＝2bc2ac2ab
111abc13．S△ABC＝absi
C＝bcsi
A＝acsi
B＝＝a＋b＋crR是三角形外接圆半径，2224R2
r是三角形内切圆的半径，并可由此计算R，r
4．已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知a，b，A，则
A为锐角
A为钝角或直
角
图形
1
f关系式解的个数
a＜bsi
A
a＝bsi
A
bsi
A＜a＜b
a≥b
a＞b
a≤b
无解
一解
两解
一解
一解
无解
一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞Ba＞bsi
A＞si
B两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：1已知两角及任一边，求其它边或角；2已知两边及一边的对角，求其它边或角．情况2中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：1已知两边及夹角求第三边和其他两角；2已知三边，求各角．两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：1化边为角；2化角为边，并常用正弦余弦定理实施边、角转换．双基自测1．人教A版教材习题改编在△ABC中，A＝60°，B＝75°，a＝10，则c等于A．52106C3解析由A＋B＋C＝180°，知C＝45°，由正弦定理得：即10＝，si
Asi
CB．102D．56．
a
c
c106＝∴c＝33222
答案Csi
AcosB2．在△ABC中，若＝，则B的值为
a
b
．
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
解析由正弦定理知：si
AcosB＝，∴si
B＝cosB，∴B＝45°si
Asi
B答案B
2
f3．2011郑州联考在△ABC中，a＝3，b＝1，c＝2，则A等于A．30°B．45°C．60°
222
．
D．75°
解析由余弦定理得：cosA＝∵0＜A＜π，∴A＝60°答案C
b＋c－a1＋4－31＝＝，2bc2×r