≌△ACE∴BDAE，∠DBC∠CAE∴∠DBC＋∠AEC∠CAE＋∠AEC90°∴BF⊥AE∵AOOB，ANND∴ON
AN1DBM1CE
1BD，ON∥BD21AE，OM∥AE2OMMN
O
F
∵AOOB，EMMB∴OM
∴OMON，OM⊥ON∴∠OMN45°，又cos∠OMN∴MN
2OM
3M1N12OM1成立，证明同（2）．
2010年广东省广州市中考数学试题
24．【分析】（1）连接OA，OP与AB的交点为F，则△OAF为直角三角形，且OA＝1，OF＝
1，借助勾股定理可求得AF的长；2
CGPAFOE
D
HB
（2）要判断∠ACB是否为定值，只需判定∠CAB＋∠ABC的值是否是定值，由于⊙D是△ABC的内切圆，所以AD和BD分别为∠CAB和∠ABC的角平分线，因此只要∠DAE＋∠DBA是定值，那么CAB＋∠ABC就是定值，而∠DAE＋∠DBA等于弧AB所对的圆周角，这个值等于∠AOB值的一半；（3）由题可知SSABDSACDSBCD＝
1SDEAB＋AC＋BC，又因为43，DE22
1DEABACBC43，所以AB＋AC＋BC＝83DE，由于DH＝DG＝DE，所所以2DE2
f以在Rt△CDH中，CH＝3DH＝3DE，同理可得CG＝3DE，又由于AG＝AE，BE＝BH，所以AB＋AC＋BC＝CG＋CH＋AG＋AB＋BH＝23DE＋23，可得83DE＝
23DE＋23，解得：DE＝3，代入AB＋AC＋BC＝83DE，即可求得周长为243．
【答案】解：（1）连接OA，取OP与AB的交点为F，则有OA＝1．CGPAFOE
D
HB
∵弦AB垂直平分线段OP，∴OF＝
11OP＝，AF＝BF．22
31在Rt△OAF中，∵AF＝OA2OF2＝122＝，∴AB＝2AF＝3．22（2）∠ACB是定值理由：由（1）易知，∠AOB＝120°，因为点D为△ABC的内心，所以，连结AD、BD，则∠CAB＝2∠DAE，∠CBA＝2∠DBA，
因为∠DAE＋∠DBA＝
1∠AOB＝60°，所以∠CAB＋∠CBA＝120°，所以∠ACB＝60°；2
（3）记△ABC的周长为l，取AC，BC与⊙D的切点分别为G，H，连接DG，DC，DH，则有DG＝DH＝DE，DG⊥AC，DH⊥BC∴SSABDSACDSBCD＝
11111ABDE＋BCDH＋ACDG＝AB＋BC＋ACDE＝lDE．22222
1lDES23∵＝4，∴＝43，∴l＝83DEDE2DE2
∵CG，CH是⊙D的切线，∴∠GCD＝∴在Rt△CGD中，CG＝
1∠ACB＝30°，2
DEDG＝＝3DE，∴CH＝CG＝3DE．ta
3033又由切线长定理可知AG＝AE，BH＝BE，
∴l＝AB＋BC＋AC＝23＋23DE＝83DE，解得DE＝3，
f∴△ABC的周长为243．【涉及知识点】垂径定理勾股定理内切圆切线长定理三角形面积【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题【推荐指数】r