，
AB＝2CD＝2，M是线段AB的中点．
1求证：C1M∥平面A1ADD1；2若CD1垂直于平面ABCD且CD1＝3，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值．1证明
因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB＝2CD，所以AB∥DC又由M是AB的中点，因此CD∥MA且CD＝MA连结AD1，如图1．在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，因为CD∥C1D1，CD＝C1D1，
f可得C1D1∥MA，C1D1＝MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形，因此C1M∥D1A又C1M平面A1ADD1，
D1A平面A1ADD1，
所以C1M∥平面A1ADD12解方法一
如图2，连结AC，MC由1知CD∥AM且CD＝AM，所以四边形AMCD为平行四边形，可得BC＝AD＝MC，由题意∠ABC＝∠DAB＝60°，所以△MBC为正三角形，因此AB＝2BC＝2，CA＝3，因此CA⊥CB以C为坐标原点，建立如图2所示的空间直角坐标系C－xyz，所以A3，00，B010，D100，3，31因此M，，0，2231→所以MD1＝－，－，3，2231→→D1C1＝MB＝－，，022设平面C1D1M的一个法向量为
＝x，y，z，→
D1C1＝0，由→
MD1＝0，得
3x－y＝0，3x＋y－23z＝0，
可得平面C1D1M的一个法向量
＝1，3，1．
f→又CD1＝00，3为平面ABCD的一个法向量，→CD1
5→因此cos〈CD1，
〉＝＝→5CD1
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值为方法二55
由1知平面D1C1M∩平面ABCD＝AB，过点C向AB引垂线交AB于点N，连结D1N，如图3．由CD1⊥平面ABCD，可得D1N⊥AB，因此∠D1NC为二面角C1－AB－C的平面角．在Rt△BNC中，BC＝1，∠NBC＝60°，可得CN＝所以ND1＝CD1＋CN＝在Rt△D1CN中，cos∠D1NC＝
22
32
152
CN5＝＝，D1N515
255
32
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角锐角的余弦值为
9如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝4，CB＝4，CC1＝22，∠ACB＝90°，点M在线段A1B1上．
f1若A1M＝3MB1，求异面直线AM和A1C所成角的余弦值；2若直线AM与平面ABC1所成角为30°，试确定点M的位置．解方法一坐标法
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C000，A400，A14022，B104，22．1因为A1M＝3MB1，所以M1322．→→所以CA1＝4022，AM＝－3322．→→CA1AM－4→→所以cos〈CA1，AM〉＝＝→→24×26CA1AM＝－39393939
所以异面直线AM和A1C所成角的余弦值为
2由A400，B040，C10022，→→知AB＝－440，AC1＝－4022．设平面ABC1的法向量为
＝a，b，c，→r