－9＝036→→∴AO⊥BO，∴AO⊥BO，同理AO⊥CO，BO⊥CO，∴AO、BO、CO两两垂直．11→→→2解DM＝DV＋VM＝－a＋b＋c＋c321＝－2a－2b＋c．6→∴DM＝112－2a－2b＋c＝，62
f122b＋c－5a＝，6211→→1DMAO＝－2a－2b＋cb＋c－5a＝，664142→→∴cos〈DM，AO〉＝＝，12222→AO＝→→→→∵〈DM，AO〉∈0，π，∴〈DM，AO〉＝45°
6．如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°1求AC1的长；2求BD1与AC夹角的余弦值．→→→解记AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则a＝b＝c＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，1∴ab＝bc＝ca＝2→221AC1＝a＋b＋c＝a＋b＋c＋2ab＋bc＋ca111＝1＋1＋1＋2×＋＋＝6，222→∴AC1＝6，即AC1的长为6→→2BD1＝b＋c－a，AC＝a＋b，→→∴BD1＝2，AC＝3，
222
BD1AC＝b＋c－aa＋b＝b2－a2＋ac＋bc＝1
→→BD1AC6→→∴cos〈BD1，AC〉＝＝→→6BD1AC∴AC与BD1夹角的余弦值为7．2014课标全国Ⅰ66
→
→
f如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C1证明：AC＝AB1；2若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．1证明连结BC1，交B1C于点O，连结AO因为侧面BB1C1C为菱形，所以B1C⊥BC1，且O为B1C及BC1的中点．又AB⊥B1C，AB∩BO＝B，所以B1C⊥平面ABO由于AO平面ABO，故B1C⊥AO又B1O＝CO，故AC＝AB1
2解因为AC⊥AB1，且O为B1C的中点，所以AO＝CO又因为AB＝BC，所以△BOA≌△BOC，故OA⊥OB，从而OA，OB，OB1两两互相垂直．→→→→以O为坐标原点，OB、OB1、OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，OB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz因为∠CBB1＝60°，所以△CBB1为等边三角形．又AB＝BC，OC＝OA，则A00，333→，B100，B10，，0，C0，－，0，AB1＝0，333
3333→→→→，－，A1B1＝AB＝10，－，B1C1＝BC＝－1，－，0．3333设
＝x，y，z是平面AA1B1的法向量，
f→
AB1＝0，则→
A1B1＝0，
333y－3z＝0，即3x－z＝03
所以可取平面AA1B1的一个法向量
＝1，3，3．→mA1B1＝0，设m是平面A1B1C1的法向量，则mB→1C1＝0同理可取平面A1B1C1的一个法向量m＝1，－3，3．
m1则cos〈
，m〉＝＝
m71所以二面角A－A1B1－C1的余弦值为7
8．2014山东如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠DAB＝60°r