AB＝0，由→
AC1＝0，
－4a＋4b＝0，得－4a＋22c＝0，
令a＝1，则b＝1，c＝2，所以平面ABC1的一个法向量为
＝11，2．因为点M在线段A1B1上，所以可设Mx4－x22，→所以AM＝x－44－x22．因为直线AM与平面ABC1所成角为30°，1→所以cos〈
，AM〉＝si
30°＝2→→→由
AM＝
AMcos〈
，AM〉，得1×x－4＋1×4－x＋2×22
f122＝2×x－4＋4－x＋8×，2解得x＝2或x＝6因为点M在线段A1B1上，所以x＝2，即点M2222是线段A1B1的中点．方法二选基底法→→→由题意CC1⊥CA，CA⊥CB，CC1⊥CB取CA，CB，CC1作为一组基底，→→→则有CA＝CB＝4，CC1＝22，→→→→→→且CACB＝CBCC1＝CACC1＝0→→1由A1M＝3MB1，→3→3→3→3→则A1M＝A1B1＝AB＝CB－CA，4444→→→→3→3→∴AM＝AA1＋A1M＝CC1＋CB－CA，44→且AM＝26，
A1C＝－CC1－CA，且A1C＝26，
→
→
→
→
→
AMA1C＝4，
439→→∴cos〈AM，A1C〉＝＝262639即异面直线AM与A1C所成角的余弦值为3939
→
→→→→2设A1M＝λA1B1，则AM＝CC1＋λCB－λCA→→→→→→又AB＝CB－CA，AC1＝CC1－CA，→→→设平面ABC1的法向量为
＝xCA＋yCB＋zCC1，→→则
AC1＝8z－16x＝0，
AB＝16y－16x＝0，不妨取x＝y＝1，z＝2，→→→则
＝CA＋CB＋2CC1且
＝8，→→2AM＝32λ＋8，AM
＝16，又AM与面ABC1所成的角为30°，则应有→161AM
＝＝，2→AM2
832λ＋81得λ＝，即M为A1B1的中点．2
f10．2013北京如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝51求证：AA1⊥平面ABC；2求二面角A1－BC1－B1的余弦值；3证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求方法一坐标法1证明在正方形AA1C1C中，A1A⊥AC又平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，∴AA1⊥平面ABC2解在△ABC中，AC＝4，AB＝3，BC＝5，∴BC＝AC＋AB，AB⊥AC，∴以A为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系A－xyz
222
BD的值．BC1
A1004，B030，C1404，B1034，A1C1＝400，A1B＝03，－4，B1C1＝4，
→－30，BB1＝004．设平面A1BC1的法向量
1＝x1，y1，z1，平面B1BC1的法向量
2＝x2，y2，z2．→A1C1
1＝0，∴→A1B
1＝0
4x1＝0，3y1－4z1＝0
→
→
→
∴取平面A1BC1的一个法向量
1＝043．由→B1C1
2＝0，→BB1
2＝0
4x2－3y2＝0，4z2＝0
f取平面B1BC1的一个法向量r