1×－2＋2×2＝2
考向
平面向量数量积的性质
命题角度1平面向量的垂直
→→→
→→
例21如图所示，在△ABC中，AD⊥AB，BC＝3BD，AD＝1，则ACAD＝
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A．23
B
32
C
33
D3
答案D
→→→→→→→→→→→→→
→→
解析ACAD＝AB＋BCAD＝ABAD＋BCAD＝BCAD＝3BDAD＝3BDAD
→cos∠BDA＝3AD2＝3
22017全国卷Ⅰ已知向量a＝－12，b＝m1．若向量a＋b与a垂直，则m
＝________
答案7
解析∵a＝－12，b＝m1，
∴a＋b＝－1＋m2＋1＝m－13．
又a＋b与a垂直，∴a＋ba＝0，
即m－1×－1＋3×2＝0，
解得m＝7
命题角度2平面向量的模例312018济南模拟设向量a，b满足a＝1，a－b＝3，aa－b＝0，则2a＋b＝
A．2B．23C．4D．43答案B解析∵aa－b＝0，∴a2＝ab＝1，a－b2＝a2－2ab＋b2＝3，∴b2＝4，∴2a＋b＝4a2＋4ab＋b2＝4＋4＋4＝23故选B
2已知向量a与b的夹角为120°，a＝3，a＋b＝13，则b等于A．5B．4C．3D．1答案B解析a＋b2＝a＋b2＝a2＋2ab＋b2＝a2＋2abcos120°＋b2＝32＋2×3×b×－12＋b2＝9－3b＋b2＝13，即b2－3b－4＝0，解得b＝4或b＝－1舍去．
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命题角度3平面向量的夹角
例41已知平面向量a，b，a＝1，b＝3，且2a＋b＝7，则向量a与向量a＋b的夹角为
Aπ2Bπ3Cπ6D．π
答案B解析由题意，得2a＋b2＝4＋4ab＋3＝7，所以ab＝0，所以aa＋b＝1，且a＋b＝a＋b2＝2，故cos〈a，a＋b〉＝aaa＋a＋bb＝12，所以〈a，a＋b〉＝π3故选
B
22017山东高考已知e1，e2是互相垂直的单位向量．若3e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
3答案3
解析由题意知e1＝e2＝1，e1e2＝0，
3e1－e2＝3e1－e22＝＝3－0＋1＝2
3e21－23e1e2＋e22
同理e1＋λe2＝1＋λ2
所以cos60°＝3e1－e2e1＋λe23e1－e2e1＋λe2
＝
3e21＋
3λ－1e1e2－λe22＝
21＋λ2
2
3－λ11＋λ2＝2，
解得
λ＝
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触类旁通平面向量数量积求解问题的策略
1求两向量的夹角：cosθ＝aabb，要注意θ∈0，π．2两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥bab＝0a－b＝a＋b3求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：①a2＝aa＝a2或a＝aa；②a±b＝a±b2＝a2±2ab＋b2；③若a＝x，y，则a＝x2＋y2
考向
向量运算的最值或取值范围7
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