直线、平面问题易错点分析
直线、平面是立体几何的重要内容，学生在学习这部分知识时，经常因为概念不清、主观臆断、空间想象能力差而错解题目。下面就学生在解题中出现的错误分类辨析如下，供大家参考一、概念不清例1如图11，二面角AB为锐角，E、F为两个面上的两点，EF，若E、F到棱AB的距离ECFD。求证：EF与平面所成的角也相等。错解如图11，在平面内，分别
E
过E、F作EC⊥AB、FD⊥AB，垂足为C、D。连结ED、FD。∵ECDF，CDCD，∴Rt△ECD≌Rt△FDC。∴EDFC，又EFEF，∴△ECF≌△FDE。∴∠EFC∠FED。即EF与平面所成的角相等。
αDBFβ图11
A
C
辨析由题意，EC只垂直AB，而不垂直于平面，根据直线与平面所成角的定义知，∠EFC不是EF与平面所成的角，而∠FED也不是EF与平面所成的角。因此，以上证明是错误的，造成错误的原因是对于直线与平面所成的角的概念不清。正解如图12，作EG⊥，G、H为垂足。连结GF、EH，则∠EFG、∠FEH分E别是EF与、所成的角。连结CG、DH。∵AB⊥EC，由三垂线定理的逆定理，得AB⊥CG。∴∠ECG是二面角AB的平面角。同理，∠FDH也是二面角AB的平面角。∴∠ECG∠HDF。则Rt△EGF≌Rt△FHE。则∠EFG∠FEH。故EF与平面所成的角也相等。二、主观臆断例2矩形ABCD中，AB3，BC4，沿对角线AC折成直二面角，求顶点B和D的距离。错解如图2，在直二面角的面ADC内，自D作DE⊥AC于E，连BE、BD，则BD为所求的距离。∵DE⊥AC，∴DE、BE同为两个全等直角三角形斜边AC上的高，∴DEBE
HD
αBFβD
ACG
图12
AB
F
E
C
图2
fADDCAC（4×3）512。∵平面ADC平面ABC
5
∴BDBE2DE22DE
，∴∠DEB90
0
。
122。5
辨析错解中认为BE是Rt△ABC斜边上的高，而BE并不垂直AC。造成错误的原因是主观臆断，以猜测代替证明。正解作BFDE
1291872，ECDCAC，EFAC2EC5。在Rt△BFE5555
中，BEBF2EF2
193，在Rt△BED中，BDBE2DE2。5
平面，线段AB分别交、于M、N，αEFM
三、随意使用“同理可证”例3如图3，已知平面AC
线段AD分别交、于C、D，线段BF分别交、于F、E，若
AMm，BN
，MNp，求△END和△FMC的面积之比。
β错解∵，∴平面AND分别交、于MC、ND。∴MCND。同理MFB
N
D
图3
EN，FCED。由等角定理，
MFCNED。得FMCEND，∴△FMCr