CD平行于弦EF，且与直径AB交成45°角，若CD与EF分别交直径AB于P和Q，且圆O的半径为1，求证：PCQEPDQF2．
CMOEQNAFPBD
证明：作OM⊥CD，垂足为M，交EF于N，设ON
，OMm．则CMDM1－m2，ENFN1－
2，本题即证1－m2＋m
2．1－
2±
1－m2－m1－
2
平面几何
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于洪伟
展开得，1－m21－
2±m
1．移项，平方得，1－m2－
2＋m2
212m
＋m2
2．m2＋
22m
．取“”号时，M、N在点O同侧，此时m≠
，总之，命题成立．当E、F交换位置时，且CD、EF在点O异侧时，可能有m
．
又证：PC2PD2CMOM2CM－OM22CM2OM22，同理QE2QF22．∴4PC2PD2QE2QF2PC2QE2PD2QF2≥2PCQEPDQF．等号当且仅当PCQE，PDQF时成立．但由已知，此二式不成立．故证．
1982T1如果凸
边形F
≥4的所有对角线都相等，那么A．F∈四边形B．F∈五边形C．F∈四边形∪五边形D．F∈边相等的多边形∪内角相等的多边形解：由正方形及正五边形知A、B均错，由对角线相等的四边形形状不确定，知D错，选C．
1982T11已知边长为4的正三角形ABC．D、E、F分别是BC、CA、AB上的点，且AEBFCD1，连结AD、BE、CF，交成△RQS．点P在△RQS内及边上移动，点P到△ABC三边的距离分别记作x、y、z．⑴求证当点P在△RQS的顶点位置时乘积xyz有极小值；⑵求上述乘积xyz的极小值．A解：利用面积，易证：⑴当点P在△ABC内部及边上移动E时，xyz为定值h23；S⑵过P作BC的平行线l，交△ABC的两边于G、H．当点zyHGlP在线段GH上移动时，yz为定值，从而x为定值．PFx⑶设y∈α，β，m为定值．则函数uym－y在点yα或RQBCyβ时取得极小值．D于是可知，过R作AB、AC的平行线，过Q作AB、BC的A平行线，过S作BC、AC的平行线，这6条平行线交得六边形TSESTRUQV，由上证，易得只有当点P在此六点上时，xyz取得极
l
F
平面几何
B
RU
VQ38页第5页共CD
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小值．由对称性易知，xyz的值在此六点处相等．EACDBS由1，ACDBSE得BS121239SE13，xhh，yhh，zh．BE1313413BE1313
3648∴xyz3h33．132197
（1983T7）在正方形ABCD所在平面上有点P，使△PAB、△PBC、△PCD、△PDA都是等腰三角形，那么具有这样性质的点P的个数有A．9个B．17个C．1个D．5个解：如图，以正方形的顶点为圆心，边长为半径作4个圆，其8个交点满足要求，正方形的中心满足要求，共有9个点．选A．
（1983二试3）在四边形r