高中数学联赛
真题分类汇编
于洪伟
高中数学联赛真题汇编平面几何
（1978T6）如图，设线段AB的中点为M，从线段AB上的另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令线段CD的中点为N，BD的中点为P，MN的中点为Q，求证：直线PQ平分线段AC．证明：连NP，取AC中点O，则由于N、P分别为CD、11BD中点，故NP∥AB，NPBCAB－ACAMAOOM．22∴NPMO为平行四边形．即PO经过MN中点Q．即直线PQ平分线段AC．
A
DNQOMPB
C
（1978二试1）四边形两组对边延长后分别相交，且交点的连线与四边形的一条对角线平行，证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连成的线段．证明：如图所示，BD∥EF，作BG∥ED交AC于G，则AGABAD，从而GD∥BC，即BCDG为平行四边形．P为BDACAEAF中点，从而Q为EF中点．
BGPCEQ
A
D
F
（1978二试4）设ABCD为任意给定的四边形，边AB、BC、CD、CA的中点分别为E、11F、G、H，证明：四边形ABCD的面积≤EGHF≤ABCDADBC．22证明：连EF、FG、GH、HE，取BD中点P，连EP、PG．1易证S四边形EFGHS四边形ABCD．211而S四边形EFGHEGHFsi
∠EOF≤EGHF．22111但EPAD，PGBC．EPPG≥EG，故ADBC≥EG，222111同理，ABCD≥HF．故EGHF≤ABCDADBC，22211从而，四边形ABCD的面积≤EGHF≤ABCDADBC．22
BEHAP
D
O
F
G
C
平面几何
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于洪伟
（1978二试6）设有一个边长为1的正方形，试在这个正方形的内接正三角形中找出一个面积最大的和一个面积最小的，并求出这两个面积．须证明你的论断解：如图，设△EFG是正方形ABCD的一个内接正三角形．且E、F分别在一组对边AD、BC上，取EF中点M，连MG．则∠GME∠GAE90°，于是A、G、M、E四点共圆．∴∠MAG∠MEG60°，同理，∠MBG60°，即△MAB为正三角形．于是M为定点，故1AB≤EF≤ABsec15°6－2．∴3≤S≤23－3．4△EFG
AGBDEMCF
1979T3在△ABC中，∠A为钝角，求作一个面积最小的圆，把△ABC完全盖住．解：以BC为直径作⊙O，则⊙O即为所求的最小圆．首先，BC是△ABC的最长边，对于任意直径小于BC的圆，不可能盖住BC．若能盖住，则得到圆的弦长大于同圆的直径，这是不可能的其次，由于∠A90，故点A在圆内．即此圆盖住了△ABC．故证．
1979T4圆的两条非直径的弦相交，求证：它们不能互相平分．证明：设⊙O的弦AB、CD互相平分于点M，连OM，则由M是弦AB中点．∴OM⊥AB，同理OM⊥CD．于是过点M可能作OM的两条垂线，这是不可能的．故证．
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