6不等式选讲
61均值不等式在证明中的应用
1（1）已知abRxyR，求证：x2y2xy2；
abab
（2）已知实数xy
满足：
2x2

y2
1，试利用（1）求
2x2

1y2
的最小值。
（1）证：

a

b


x2a

y2b


x2

y2

bx2a

ay2b

x2

y2
2xy

x
y2

x2

y2
xy2

（当且仅当
x

y
时，取等号）；
abab
ab
（2）解：2
x2

1y2

222x2

12y2

212
2x2y2
9，当且仅当x2

y2

1时，2
3
x2

1y2
的最小值
是9。
考点：均值不等式在证明中的应用、综合法证明不等式
62绝对值不等式
621单绝对值不等式
2
已知函数
f
x


x2

5x

4

x

0若函数
y

f
x
a
x
恰有4
个零点，则实数
a
的
2x2x0
取值范围为_______
答案：12
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f解析：分别作出函数yfx与yax的图像，由图知，a0时，函数yfx与yax无交点，a0时，函数yfx与yax有三个交点，故a0当x0，a2时，函数yfx与yax有一个交点，当x0，0a2时，函数yfx与yax有两个交点，当x0时，若yax与yx25x44x1相切，则由0得：a1或a9（舍），因此当x0，a1时，函数yfx与yax有两个交点，当x0，a1时，函数yfx与yax有三个交点，当x0，0a1时，函数yfx与yax有四个交点，所以当且仅当1a2时，函数yfx与yax恰有4个交点
第2页共17页
f考点：单绝对值不等式3存在x0，使得不等式x22xt成立，则实数t的取值范围为
_____________
答案：


94

2

解析：不等式x22xt，即xt2x2，
令y1xty1的图象是关于xt对称的一个V字形图形，其象位于第一、二象限；
y22x2，是一个开口向下，关于y轴对称，最大值为2的抛物线；要存在x0，使不等式xt2x2成立，
则y1的图象应该在第二象限和y2的图象有交点，
两种临界情况，①当t0时，y1的右半部分和y2在第二象限相切：
y1的右半部分即y1xt，
联列方程yxty2x2，只有一个解；
即xt2x2，即x2xt20，14t80，得：t9；
4
此时y1
恒大于等于y2
，所以t9取不到；
4
所以9t0；
4
②当t0时，要使y1和y2在第二象限有交点，
即y1的左半部分和y2的交点的位于第二象限；
无需联列方程，只要y1与y轴的交点小于2即可；
y1tx与y轴的交点为0t，所以t2，
又因为t0，所以0t2；
第3页共17页
f综上，实数t的取值范围是：9t2；
4
故答案为：


94

2

．
r