德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：1＋2＋3＋4＋＋99＋100＝？
老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1＋100＝2＋99＝3＋98＝＝49＋52＝50＋51。1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。于是，小高斯把这道题巧算为（1100）×100÷2＝5050。小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。若干个数排成一列称为数列，数列的第一个数（第一项）叫首项，最后一个数（最后一项）叫末项，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的差是一个不变的数，这样的数列叫做等差数列，这个不变的数则称为这个数列的公差。计算等差数列的和，可以用以下关系式：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2末项＝首项＋公差×（项数－1）项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例1：计算下列数列的和（1）1，2，3，4，5，，100；（2）8，15，22，29，36，，71。其中（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；（2）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：和（首项末项）×项数÷2
随堂小练：计算等差数列1，3，5，7，9，，99的和
例2：计算下面数列的和1＋2＋3＋＋1999分析：这串加数1，2，3，，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得解：原式（1＋1999）×1999÷2＝1999000注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例3：计算下面数列的和11＋12＋13＋＋31分析：这串加数11，12，13，，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有3111＋1＝21（项）。
f解：原式（1131）×21÷2441在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到项数（末项首项）÷公差1，末项首项公差×（项数1）。
例4：计算下面数列的和3＋7＋11＋＋99分析：3，7，11，，99是公差为4的等差数列，项数（99－3）÷4＋1＝25解：原式（3＋99）×25÷2＝1275
例5：求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。解：末项25＋3×（401）＝142，和（25＋142）×40÷2＝3340。利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，也可以解决各种与等差数列求和有关的问题。
随堂小练：（1）求等差数列：1、3、5、7、9……它的第21r