长沙市第一中学高二数学备课组
315空间向量运算的坐标表示夹角和距离公式教学要求：掌握空间向量的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并会用这些公式解决有关问题．教学重点：夹角公式、距离公式．教学难点：夹角公式、距离公式的应用．教学过程：一、复习引入问题1向量的直角坐标运算法则有哪些？设a＝a1a2a3，b＝b1b2b3，则⑴a＋b＝a1b1a2b2a3b3；⑵a－b＝a1b1a2b2a3b3；⑶λa＝a1a2a3R；⑷ab＝a1b1a2b2a3b3问题2怎样求一个空间向量的坐标呢？表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标．问题3．（1）与向量（1，3，2）平行的一个向量的坐标为（C）A．（1，3，2）B．（1，3，2）C．（2，6，4）D．（1，3，2）（2）已知点A（1，2，1），且向量OC与向量OA关于平面xoy对称，向量OB与向量OA关于平面x轴对称，求向量BC和向量AB答案：BC（0，4，0）
AB（0，4，2）
（3）已知向量a（2，1，3）求一向量b，使a∥b，且b3a答案：b（6，3，9）或b（6，3，5）二、新课讲授⒈向量的模：设a＝a1a2a3，b＝b1b2b3，求这两个向量的模
222｜a｜＝a12a2a3，｜b｜＝b12b2b32．这两个式子我们称为向量的长度公式．
这个公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度．2夹角公式推导：∵ab＝abcos＜ab＞∴
a1b1
a22b
222a33＝ba12a2a3b12b2b32cos＜ab＞
由此可以得出：cos＜ab＞＝
a1b1a2b2a3b3
21
222aa2a3b12b2b32这个公式成为两个向量的夹角公式．利用这个共识，我们可以求出两个向量的夹角，并可以进一步得出两个向量的某些特殊位置关系：当cos＜a、b＞＝1时，a与b同向；当cos＜a、b＞＝－1时，a与b反向；当cos＜a、b＞＝0时，a⊥b．
例1．已知A（1，0，0），B（0，1，1）OAOB与OB的夹角为120°，求的值（，例2：如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，B1E1D1F1
6）6
A1B1，4
求BE1与DF1所成的角的余弦值．分析：如何建系？→点的坐标？→如何用向量运算求夹角？→例3：教科书96面的例6练习：教材P97面练习第3题3两点间距离共识：利用向量的长度公式，我们还可以得出空间两点间的距离公式：在空间直角坐标系中，已知点Ax1y1z1，Bx2y2z2，则
dA、Bx2x12y1y22z1z22，其中dA、B表示A与B两点间的r