二、相对位移
OrOEO
xx
由（218）有
图113
rPErPMrOE
（219）
结论：P对E的位移等于P对M的位移与O对E的位移的矢量和。
三、相对速度
将式（218）两边对时间求一阶导数有vPEvPMvME
（220）
结论：P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。
四、相对加速度
由式（220）对时间求一阶导数有aPEaPMaME
（221）
结论：P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量和。
例13：质点做平面曲线运动，其位矢、加速度和法向加速度大小分别为r，a和a
，速度为v，试说明下式正确的有哪些？
⑴adv
dt
⑵ad2r
dt2
⑶
a2

a
2


dvdt
⑷avv
r
解：因为标量矢量，所以⑴不对。
又ad2r，而d2rd2r，故⑵不对。
dt2
dt2dt2
f而
a2

a
2


at

dvdt

dv，因此⑶正确。dt
由于avv中r为曲率半径，而这里r为位矢的大小，不一定是曲率半径，所以⑷不对。r
例14：在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程S随时间的
变化规律为S

v0t

1bt22
，其中，v0
，b
都是正的常数，则t
时刻齿尖
P
的速
度和加速度大小为多少？
解：v

dsdt

v0

bt
a
at2a
2
dv2dt


v2R
2

b2v0bt4
R2
例
15：一质点运动方程为
r
10
cos
5ti
10
si

5tj（SI），求：
（1）at
（2）a

解：⑴
v
dr
50
si

5ti
50
cos5tj
dt
vv50si
5t250cos5t250ms
at

dvdt

0
⑵a
a2at2a250ms2
注意此方法，给定运动方程，先求出a、at
，之后求a
，这样比用a


v2r
求a
简单
例16：抛射体运动，抛射角为，初速度为v0，不计空气阻力，⑴问运动中a变化否？at、a
变否？⑵任意位置at、a
为多少？⑶抛出点、最高点、落地点at、a
各为多少？曲率半径为多少？
解：如图所取坐标，x轴水平，y轴竖直，
O为抛射点。⑴质点受重力恒力作用，有ag，故a不变
∵at

dvdt
，而v改变，∴at变。
∵a
a2at2而a不变，at变，
∴a
变。
⑵任意位置P处，质点的at、a
为
aa
t

gsi
gcos
y
vo
O
p
v
at
g
a

图114
（与x轴平行）x
f⑶抛射点处，，vv0，有
atgsi

r
a


v
20
g
cosv02
a
gcos
最高点：0，vv0cos，

at0
a
g
r

v02
cos2


g
∵落地点：与出射点对称
atgsi

∴
a



r
gcosv02
gcos
例17：一质点从静止（t0）出发，沿半径为R3m的圆周运动，切向加速度大小不
变，为at3ms2在t时刻，其总加速度a恰与半径成45°角，求t解：依题意知，a
与a夹角为45°，有
a
at
①
∵a


v2R

r