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二、相对位移
OrOEO
xx
由(218)有
图113
rPErPMrOE
(219)
结论:P对E的位移等于P对M的位移与O对E的位移的矢量和。
三、相对速度
将式(218)两边对时间求一阶导数有vPEvPMvME
(220)
结论:P对E的速度等于P对M的速度与M对E的速度的矢量和。
四、相对加速度
由式(220)对时间求一阶导数有aPEaPMaME
(221)
结论:P对E的加速度等于P对M的加速度与M对E的加速度的矢量和。
例13:质点做平面曲线运动,其位矢、加速度和法向加速度大小分别为r,a和a
,速度为v,试说明下式正确的有哪些?
⑴adv
dt
⑵ad2r
dt2

a2

a
2


dvdt
⑷avv
r
解:因为标量矢量,所以⑴不对。
又ad2r,而d2rd2r,故⑵不对。
dt2
dt2dt2
f而
a2

a
2


at

dvdt

dv,因此⑶正确。dt
由于avv中r为曲率半径,而这里r为位矢的大小,不一定是曲率半径,所以⑷不对。r
例14:在一个转动的齿轮上,一个齿尖P沿半径为R的圆周运动,其路程S随时间的
变化规律为S

v0t

1bt22
,其中,v0
,b
都是正的常数,则t
时刻齿尖
P
的速
度和加速度大小为多少?
解:v

dsdt

v0

bt
a
at2a
2
dv2dt


v2R
2

b2v0bt4
R2

15:一质点运动方程为
r
10
cos
5ti
10
si

5tj(SI),求:
(1)at
(2)a

解:⑴
v
dr
50
si

5ti
50
cos5tj
dt
vv50si
5t250cos5t250ms
at

dvdt

0
⑵a
a2at2a250ms2
注意此方法,给定运动方程,先求出a、at
,之后求a
,这样比用a


v2r
求a
简单
例16:抛射体运动,抛射角为,初速度为v0,不计空气阻力,⑴问运动中a变化否?at、a
变否?⑵任意位置at、a
为多少?⑶抛出点、最高点、落地点at、a
各为多少?曲率半径为多少?
解:如图所取坐标,x轴水平,y轴竖直,
O为抛射点。⑴质点受重力恒力作用,有ag,故a不变
∵at

dvdt
,而v改变,∴at变。
∵a
a2at2而a不变,at变,
∴a
变。
⑵任意位置P处,质点的at、a

aa
t

gsi
gcos
y
vo
O
p
v
at
g
a

图114
(与x轴平行)x
f⑶抛射点处,,vv0,有
atgsi

r
a


v
20
g
cosv02
a
gcos
最高点:0,vv0cos,

at0
a
g
r

v02
cos2


g
∵落地点:与出射点对称
atgsi


a



r
gcosv02
gcos
例17:一质点从静止(t0)出发,沿半径为R3m的圆周运动,切向加速度大小不
变,为at3ms2在t时刻,其总加速度a恰与半径成45°角,求t解:依题意知,a
与a夹角为45°,有
a
at

∵a


v2R

r
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