t1s到t2s内质点的平均速度；
⑷t1s和t2s时质点的速度；
⑸t1s到t2s内的平均加速度；
⑹t1s和t2s时质点的加速度。
解：⑴
⑵⑶
vrr12r24riri2j2r21mjim23ij3

jm
2i
3
jms
⑷
v
drt
212i2tj
⑸
avv12dtv22iiv2

2jms
4jms
v1
2
j
2
jms2
tt31
⑹ad2rdv2jms2
dt2dt
例12：一质点沿x轴运动，已知加速度为a4tSI，初始条件为：t0时，v00，x010m。求：运动方程。
解：取质点为研究对象，由加速度定义有
adv4t（一维可用标量式）dt
dv4tdt
由初始条件有：得：
v
t
0dv04tdt
v2t2
由速度定义得：
vdx2t2dt
fdx2t2dt
由初始条件得：
x
dx
t
2t
2
dt
10
0
即
x2t210m3
由上可见，例11和例12分别属于质点运动学中的第一类和第二类问题。
§12圆周运动
C
et切向）
一、自然坐标系
图21中，BAC为质点轨迹，t时刻质点P位于A点，et、e
分别为A点切向及法向的单位矢量，以A为原点，et切向和e
法向为坐标轴，由此构成的参照系为自然坐标系（可推广到三维）
二、圆周运动的切向加速度及法向加速度
e（
法向）
AtP
B图16
1、切向加速度
如图17，质点做半径为r的圆周运动，t时刻，质
点速度
vvet
（21）
式（21）中，vv为速率。加速度为
a
dvdt
dvdt
et

v
detdt
（22）
式（22）中，第一项是由质点运动速率变化引起的，方
向与et共线，称该项为切向加速度，记为
at

dvdt
et

atet
（23）
式（23）中，
at

dvdt
at为加速度a的切向分量。
（24）
结论：切向加速度分量等于速率对时间的一阶导数。
2、法向加速度
式（22）中，第二项是由质点运动方向改变引起的。
v
et
Ate
rO
图17
f如图18，质点由A点运动到B点，有
vv
etds

etAB

因为
et

OAd，etet
et
OBet
，所以et、et夹角为（见图19）
d
。
当d0时，有detetdd。
因为
det

et
，所以
ddeett由
A点指向圆心de

O，可有
式（22）中第二项为：
v
detdt

v
ddt
e


vr
dsdt
e


v2r
e

该项为矢量，其方向沿半径指向圆心，称为法向加速度，记为
大小为
a


v2r
e

（25）
a


v2r
（26）
式（26）中，a
是加速度的法向分量。结论：法向加速度分量等于速率平方除以曲率半径。
Btdtet
dsAtd
rO
图18


et
det
d
et
图19
3、总加速度
大小：
a
at

a


atet
a
e


dvdt
et

v2r
e

a
at2a
2

dvdt
2



v2r
2

方向：a与et夹角（见图110）满足tga
at
（27）
（28）
a
at

O
At
a

4、一般曲线运动
圆周运动的切向加速度和法向加速度也适用于r