空间向量在立体几何中的应用
【考纲要求】1了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及
其坐标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直4能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系5能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理6能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量
方法在研究几何问题中的作用
【知识网络】
空间向量的定义与运算
空间向量运算几何意义
空间向量的坐标表示及运算
应用空间向量的运算解决立几问题
证明平行、垂直
求空间角与距离
【考点梳理】
要点一、空间向量
1空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
要点诠释：
⑴空间的一个平移就是一个向量。
⑵向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。相等向量只考
虑其定义要素：方向，大小。
⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2共线向量
（1）定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共
线向量或平行向量．a
平行于
b
记作
a

b
．当我们说向量
a
、b
共线（或
a

b
）时，表示
a
、
b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a、b（b≠0），ab的充要条件是存在实数
λ，使
a
＝λ
b
。
f3向量的数量积
（1）定义：已知向量ab，则abcosab叫做ab的数量积，记作ab，即
ababcosab。
（2）空间向量数量积的性质：
①aeacosae；
②abab0；
③a2aa．
（3）空间向量数量积运算律：
①ababab；
②abba（交换律）；
③abcabac（分配律）。
4空间向量基本定理
如果三个向量abc不共面，那么对空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组xyz，
使pxaybzc。若三向量abc不共面，我们把abc叫做空间的一个基底，abc叫
做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。5空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用ijk
表示；
（2）在空间选定一点O和一个单位正交基底ijk，以点O为原点，分别以ijk的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴r