因此，Ei是零测度集。………………………………………5分
i1
3．错误……………………………………………………………2分
例如：取
E

0
作函数列：
f
x

1x0
0x

12
显然f
x1当xE。但当01时，Ef
1

且m
这说明f
x不测度收敛到1………………5分4．错误…………………………………………………………2分
例如：
f
x

x
cos
2x
0

x

1
显然是01的连续函数。
0x0
如果对01取分划T011111，则容易证明
2
2
1
32
2
f
i1
xi
f
xi1

i1
1
，从而得到
1
V

f
i
0

…………………5
分
四、1．fx在01上不是R可积的，因为fx仅在x1处连续，
即不连续点为正测度集………………………………………3分
因为fx是有界可测函数，所以fx在01上是L可积
的………………………………………………………………6分
（第15页，共18页）
f因为fx与xae相等进一步，fxdx1xdx1……8分
01
0
2
2
设

xf
x1
2x2si
3
xdx
，则
易知当


时，
f
x0…………………………………………………………2分
又
f


x

1

x
2
x
2
………………………………………………4
分
但是不等式右边的函数，在0上是L可积的……………6分
故有lim

0f
xdx
0
lim

f


xdx

0
…………………………8
分
五、1．xEfxc………………………………………1分
fx在x点连续，对fxc0Ux当yUx时，
有fyfx…………………………………………3分
fxcfyfxfxcfyc，yE……5分
因此UxE，从而E为开集………………………………6分
2．对任何正整数
，由条件存在开集G
E使
mG


E

1

……………………………………………………1
分

令GG
，则G是可测集…………………………………3分
1
又因
mGE
mG
E
1

对一切正整数


成立，因而
mGE0
，即
MGE是一零测度集，所以也可
测…………………………………………………………………5分
由EGGE知，E可测。…………………………………6分
x
3、易知gxVf是ab上的增函数………………………2分a
（第16页，共18页）
f令hxgxfx则对于ax1x2b有
hx2hx1gx2gx1fx2fx1
x2
Vx1
f

f
x2
f
x1
f
x2
f
x1

f
x2
f
x1
0
所以hx是ab上的增函数……………………………………4分
因此fxgxhxr