在abR可积
Dfx在aR广义可积fx在aL可积
得分
二填空题3分×515分
1、设
A


1

2

1


12
，则limA
_________。

2、设P为Ca
tor集，则P
o
，mP_____，P________。
3、设
Si

是一列可测集，则
m


i1
Si

______
i1
mSi
4、鲁津定理：______________________________________________________
_______________________________________________________________
5、设Fx为ab上的有限函数，如果_________________________________
_______________________________________________________________
______________________________则称Fx为ab上的绝对连续函数。
得分
三下列命题是否成立若成立则证明之若不成立则说明原因或举出反例5分×420分
1、由于010101，故不存在使01和0，1之间11对应的映射。
（第10页，共18页）
f2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。3、ae收敛的函数列必依测度收敛。4、连续函数一定是有界变差函数。
得分
四解答题8分×216分
1、设
f
x

xx为无理数1x为有理数
，则fx在01上是否R可积，是否L可积，
（第11页，共18页）
f若可积，求出积分值。
2、求极限
lim

1
x01
2
x2
si
3

xdx

得分
五证明题6分×38234分
16分1、设fx是上的实值连续函数，则对任意常数c，Exfxc是一开集
（第12页，共18页）
f26分设0开集GE使mGE，则E是可测集。
3（6分）在ab上的任一有界变差函数fx都可以表示为两个增函数之差。
4（8分）设函数列f
x
12在有界集E上“基本上”一致收敛于fx，证明：f
xae收敛于fx。
（第13页，共18页）
f5（8分）设fx在Eab上可积，则对任何0，必存在E上的连续函
数x，使
b

f
xx
dx



a
试卷二（参考答案及评分标准）
一、1，C2C3B4C5A
二、1，022，c；0；3，
4，设fx是E上ae有限的可测函数，则对任意0，存在闭子集EE，使得fx在E上是连续函数，且mEE。
5，对任意00，使对ab中互不相交的任意有限个开区间



aibii12
只要biai，就有FbiFai
i1
i1
三、1．错误……………………………………………………2分
（第14页，共18页）
f记01中有理数全体Rr1r2
0r1


1r2r
r
2




1
2
xxx为0，1中无理数，
显然是0，1到（0，1）上的11映射。……………………………5分
2．正确……………………………………………………………2分



设E为零测度集，i
0m
Ei
mE0，所以，mEi0
i1
i1
i1
r