iab



当biai时，有fbifai1………………2分
i1
i1
（第7页，共18页）
f
将abm等分，使xixi1，对Txi1z0z1zkxi，有i1
k
fzifzi11，所以fx在xi1xi上是有界变差函
i1
数………………………………5分
xi
b
所以Vf1从而Vfm，因此，fx是ab上的有界变差函
xi1
a
数…………………………………………………………6分
4、fx在E上可积limmEf
mEf0……2分

据积分的绝对连续性，00eEme，有
efxdx…………………………………………………4分
对上述
0k
kmEf

，从而

me

fxdx
e

，即
lim



me


0
…………………6
分
5．

N
存在闭集
F


EmE

F



12


f
x
在
F

连
续………………………………………………………………2分


令
F
F

k1
k
，则
xF
kx
k
F


kxF


f
x
在
F
连
续…………………………………………………………4分


又对任意
k

m

E

F


mE


k
F



m
k
E

F



k
mE

F


12k
……………………………………………6
分
故mEF0fx在FE连续…………………………8分
又mEF0所以fx是EF上的可测函数，从而是E上的可测函数………………………………………………………10分
（第8页，共18页）
f试卷二：
《实变函数》试卷二
专业________班级_______姓名
学号
题号
一
二
三
四
五
总分
得分
注意事项
1、本试卷共6页。2、考生答题时必须准确填写专业、班级、学号等栏目，字迹要清楚、工整。
得分
一单项选择题（3分×515分）
1．设MN是两集合，则MMN（）
AMBNCMND2下列说法不正确的是
AP0的任一领域内都有E中无穷多个点，则P0是E的聚点
BP0的任一领域内至少有一个E中异于P0的点，则P0是E的聚点
C存在E中点列P
，使P
P0，则P0是E的聚点
D内点必是聚点
3下列断言是正确的。
（A）任意个开集的交是开集；B任意个闭集的交是闭集；
C任意个闭集的并是闭集；D以上都不对；
4下列断言中是错误的。
（A）零测集是可测集；
（B）可数个零测集的并是零测集；
（第9页，共18页）
f（C）任意个零测集的并是零测集；（D）零测集的任意子集是可测集；
5若fx是可测函数，则下列断言（
）是正确的
Afx在abL可积fx在abL可积；
Bfx在abR可积fx在abR可积
Cfx在abL可积fxr