使fx在F上连续，且mEF，证明：fx是E上的可测函数。鲁津定理的逆定理
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f试卷一答案：
试卷一
（参考答案及评分标准）
一、1C2D3B4A5D
二、1．
2、01；；013、mTmTEmTCE
4、充要
5、




fxi
fxi1成一有界数集。
i1

三、1．错误……………………………………………………2分
例如：设E是01上有理点全体，则E和CE都在01中稠密
………………………5分2．错误…………………………………………………………2分
例如：设E是Ca
tor集，则mE0，但Ec，故其为不可数集
………………………5分3．错误…………………………………………………………2分
例如：设
E
是ab上的不可测集，
f
x

xxE
xxab
E
则fx是ab上的可测函数，但fx不是ab上的可测函
数………………………………………………………………5分4．错误…………………………………………………………2分
mE0时，对E上任意的实函数fx都有fxdx0…5分
E
四、1．fx在01上不是R可积的，因为fx仅在x1处连续，即不连续点为
正测度集………………………………………3分
因为fx是有界可测函数，fx在01上是L可积的…6分
因为fx与x2ae相等，进一步，fxdx1x2dx1…8分
01
0
3
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f2．解：设
f
x

l
x


ex
cos
x，则易知当



时，
f
x

0
…………………………2分
又因

l
tt


1l
tt2

0，t

3，所以当



3x

0时，
l
x
xl
x
xl
3l
31x………………4分


x
33
从而使得
f
x
l
313
xex…………………………………6
分
但是不等式右边的函数，在0上是L可积的，故有
lim

0f
xdx
0
lim

f

xdx

0
…………………………………8
分
五、1．设E01AEQBEEQ
B是无限集，可数子集MB…………………………2分
A是可数集，AMM………………………………3分
BM且AM
BMB
EM
A
M
BAMBM
B

M

…………5
分
EBBc………………………………………………6分
2．
x

E
则存在E中的互异点列x


使
lim

x


x
………2
分
x
Efx
a…………………………………………3分
f
x在x点连续，
f
x

lim

f
x


a
xE…………………………………………………………5分
E是闭集……………………………………………………6分
3对1，0，使对任意互不相交的有限个aibr