【一些结论】：以下皆是向量1若P是△ABC的重心PAPBPC02若P是△ABC的垂心PAPBPBPCPAPC内积）3若P是△ABC的内心aPAbPBcPC0abc是三边）4若P是△ABC的外心PAPBPC（AP就表示AP向量AP就是它的模）5APλ（ABABACACλ∈0∞则直线AP经过△ABC内心6APλ（ABABcosBACACcosCλ∈0∞经过垂心7APλ（ABABsi
BACACsi
Cλ∈0∞）或APλABACλ∈0∞经过重心8若aOAbOBcOC则0为∠A的旁心∠A及∠BC的外角平分线的交点
【以下是一些结论的有关证明】1O是三角形内心的充要条件是aOA向量bOB向量cOC向量0向量充分性：已知aOA向量bOB向量cOC向量0向量，延长CO交AB于D，根据向量加法得：OAODDAOBODDB代入已知得：aODDAbODDBcOC0因为OD与OC共线，所以可设ODkOC上式可化为kakbcOCaDAbDB0向量向量DA与DB共线，向量OC与向量DA、DB不共线，所以只能有：kakbc0，aDAbDB0向量由aDAbDB0向量可知：DA与DB的长度之比为ba所以CD为∠ACB的平分线，同理可证其它的两条也是角平分线。必要性：已知O是三角形内心设BO与AC相交于E，CO与AB相交于F，∵O是内心∴baAFBF，caAECE过A作CO的平行线，与BO的延长线相交于N，过A作BO的平行线，与CO的延长线相交于M，所以四边形OMAN是平行四边形根据平行四边形法则，得向量OA向量OM向量ONOMCO向量COONBO向量BOAECE向量COAFBF向量BOca向量COba向量BO∴a向量OAb向量BOc向量CO∴a向量OAb向量OBc向量OC向量0
2已知△ABC为斜三角形且O是△ABC所在平面上的一个定点动点P满足向量OPOA入ABAB＾2si
2BACAC＾2si
2C求P点轨迹过三角形的垂心OPOA入ABAB＾2si
2BACAC＾2si
2COPOA入ABAB＾2si
2BACAC＾2si
2C
fAP入ABAB＾2si
2BACAC＾2si
2CAPBC入ABBCAB＾2si
2BACBCAC＾2si
2CAPBC入ABBCcos180°BAB＾2si
2BACBCcosCAC＾2si
2CAPBC入ABBCcosBAB＾22si
BcosBACBCcosCAC＾22si
CcosCAPBC入BCAB2si
BBCAC2si
C根据正弦定理得：ABsi
CACsi
B所以ABsi
BACsi
C∴BCAB2si
BBCAC2si
C0，即APBC0，P点轨迹过三角形的垂心3OPOAλABABsi
BACACsi
COPOAλABABsi
BACACsi
CAPλABABsi
BACACsi
CAP与ABABsi
BACACsi
C共线根据正弦定理：ABsi
CACsi
B所以ABsi
BACsi
C所以AP与ABAC共线ABAC过BC中点D，所以P点的轨迹也过中点D，∴点P过三r