不等式学案二算术平均数与几何平均数
一、考点梳理1．算术平均数、几何平均数定理（1）什么是算术平均数与几何平均数？（2）定理1：ab∈Ra2b2≥2ab（当且仅当ab时取“＝”号）
数式中值最大的是（）
A．a1b1a2b2C．a1b2a2b1
B．a1a2b1b2D．
12
4．已知x0y0，并且xaby成等差数列，xcdy成等
ab定理2：b是正数a≥ab（当且仅当ab时取“＝”2
号）
比数列，则A．0
ab2的最小值是（）cd
C．2D．4
2
B．1
ab2ab是正数ab≤（当且仅当ab时取“＝”号）2
（1）两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数；两个正数的等差中项不小于它们的等比中项。（2）几何解释：半径不小于半弦。2．利用均值不等式求最大、最小值问题且，（1）如果xy∈R，xyP（定值）那么当xy时，xy取得＿＿＿值；（2）如果xy∈R，xyS（定值）那么当xy时，xy且，取得＿＿＿值；也就是：求两个正变数积的最大值常考虑和为定值；求两个正变数和的最小值常考虑积为定值。二、考点自测1．已知ab∈R，则“ab≥0”是“ab≥abab”
3322
5．已知ab∈R，下列不等式①a12a；②
ab≥2；③ab
1≥1；a3b3≥a2bab2．④其中正确的个数为（）a1B．1C．2D．3A．0a2
2
6．若xy是正数，则x
121y2的最小值是（）；y2x
（C）322（D）
（A）42
（B）222
254
例2（1）若x0，求fx（2）若x0，求fx
123x的最小值；x
三、命题热点突破：例1（1）已知abcd是正数，求证：abcdacbd≥4abcd（2）已知abc是正数，求证：abbcac≥8abc；
123x最大值．x
的（）A．充分不必要条件C．充分且必要条件
B．必要不充分条件D．不充分不必要条件
2．已知不等式xy
1x
a≥9对任意正实数xy恒成立，则y
正实数a的最小值为（）A．2B．4C．6D．8
3．若0a1a20b1b2且a1a2b1b21，则下列代
1
f例3已知abc∈R，且abbcca1．（1）求证：abc≥
222
求证：例4正数abc，
111111≥2a2b2cabbcca
3；
（2）求abc的最小值．
例5已知ab都是正数，且a≠b，abab，求证：
3322
1ab
43
四、思想方法总结：
2
f算术平均数与几何平均数作业
一、选择题：1．若实数xy满足：xy1xy≥2，则（）A．x0y0C．x0y0B．x0y0D．x0y0
C．b≤c≤a二r