，当且仅当P，O，H
三点共线，且P位于A，B，C，D其中某一点时取到等号，所以—PM→—P→N＝—P→H2－12≤2＋
1故—PM→—P→N的取值范围为－21，2＋1
答案：－21，2＋1
通法在握
1．平面向量数量积求解问题的策略
1求两向量的夹角：cosθ＝aabb，要注意θ∈0，π．
2求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝aa＝a2或a＝aa
②a±b＝a±b2＝a2±2ab＋b2
③若a＝x，y，则a＝x2＋y2
3两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥bab＝0a－b＝a＋b
2．数量积的最值或范围问题的2种求解方法
1临界分析法：结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．
2目标函数法：将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利
用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．
演练冲关
1．如图，菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，M为DC的中点，若N
为菱形内任意一点含边界，则—A→M—A→N的最大值为
A．3
B．23
C．6
D．9
解析：选D由平面向量数量积的几何意义知，—A→M—A→N等于—A→M与—A→N在—A→M方向上的
投影
之
积
，
所
以
—→AM
—A→Nmax＝
—→AM
—A→C＝12—A→B＋—A→D
—A→B＋
—→AD
＝
12
—→AB
2＋
—A→D2
＋32
—A→B—A→D＝9
2．2019嘉兴高三测试已知c＝2，向量b满足2b－c＝bc当b，c的夹角最大时，b
＝________
f解析：设—O→B＝b，—O→C＝c，则∠BOC即为向量b，c的夹角，OC＝2，b－c＝—C→B由
2b－c＝bc可知2BC＝2OBcos∠BOC，从而cos∠BOC＝OBCB≥0
若BC＝0，则∠BOC＝0，不符合题意；
若BC＞0，则∠BOC为锐角，设OB＝m，BC＝
，则cos∠BOC＝m
在△OBC中，由余弦定理可知cos∠BOC＝4＋m4m2－
2，所以4＋m4m2－
2＝m
，即m2＝
2＋4
－4，从而cos2
∠BOC＝m
22＝
2＋
42
－4＝－
2－112＋2，所以当
＝2时，cos2∠BOC取得最小值12，∠BOC
取得最大值π4，此时b＝m＝
2＋4
－4＝22
答案：22
3．2019唐山模拟在△ABC中，—A→B－3—A→C⊥—C→B，则角A的最大值为________．
解析：因为—A→B－3—A→C⊥—C→B，所以—A→B－3—A→C—C→B＝0，即—A→B－3—A→C—A→B－—A→C
＝
0
，
整
理
得
—→AB
2
－
4
—→AC
—A→B＋
3
—→AC
2
＝
0
，
即
cos
A＝—A→B—→2＋3——A→→C2＝
—→AB—→
—→＋3—A→C
4ACAB4AC4AB
≥2136＝23，当且仅当—A→B＝3—A→C时等号成立．因r