且—A→B＝3，—A→C＝2若—A→P＝
λ—A→B＋—A→C，且—A→P⊥—B→C，则实数λ的值为________．
解析：由—A→P⊥—B→C，知—A→P—B→C＝0，即—A→P—B→C＝λ—A→B＋—A→C—A→C－—A→B＝λ－
1—A→B—A→C－λ—A→B2＋—A→C2＝λ－1×3×2×－21－λ×9＋4＝0，解得λ＝172
答案：172
5．已知向量a＝cosα，si
α，b＝cosβ，si
β，0＜β＜α＜π
1若a－b＝2，求证：a⊥b；
2设c＝01，若a＋b＝c，求α，β的值．
解：1证明：由题意得a－b2＝2，
f即a－b2＝a2－2ab＋b2＝2又因为a2＝b2＝a2＝b2＝1，
所以2－2ab＝2，
即ab＝0，故a⊥b
2因为a＋b＝cosα＋cosβ，si
α＋si
β＝01，
所以cosα＋cosβ＝0，si
α＋si
β＝1，
由此得，cosα＝cosπ－β，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π，又0＜α＜π，故α＝π－β代入
si
α＋si
β＝1，得si
α＝si
β＝12，而α＞β，所以α＝56π，β＝π6
角度四：与最值、范围有关问题
6．2018浙江名校联考已知在△ABC中，AB＝4，AC＝2，AC⊥BC，D为AB的中点，
点P满足—A→P＝1a—A→C＋a－a1—A→D，则—P→A—P→B＋—P→C的最小值为

A．－2
B．－298
C．－285
D．－72
解析：选C由—A→P＝1a—A→C＋a－a1—A→D知点P在直线CD上，以点
C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所
示的平面直角坐标系，则A02，B23，0，C0，0，D3，1，∴
直线CD的方程为y＝33x，设Px，33x，则—P→A＝－x，2－33x，—P→B＝23－x，－33x，
—P→C＝－x，－33x，∴—P→B＋—P→C＝23－2x，－233x，∴—P→A—P→B＋—P→C＝－x23－
2x＋23x2－433x＝83x2－1033x＝83x－5832－285，∴当x＝583时，—P→A—P→B＋—P→C取得最
小值－285
7．2018浙江联盟校联考已知动点P是边长为2的正方形ABCD的边上任意一点，
MN是正方形ABCD的外接圆O的一条动弦，且MN＝2，则—PM→—P→N的取值范围为
________．
解析：如图，取MN的中点H，连接PH，则—PM→＝—P→H＋12—N→M＝—P→H－
12—M→N，—P→N＝—P→H＋12—M→N，因为MN＝2，所以—PM→—P→N＝—P→H2－14—M→N2＝
f—P→H2－12≥－12，当且仅当点P，H重合时取到最小值．当P，H不重合时，连接PO，OH，
易得OH＝22，则—P→H2＝—P→O＋—O→H2＝—P→O2＋2—P→O—O→H＋—O→H2＝—P→O2＋12－2—P→O—O→H
cos∠POH＝—P→O2＋12－2—P→Ocos∠POH≤—P→O2＋12＋2—P→O≤32＋2r