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∫x4dxx52x2010010
2
2x
o1
图061
x
问题转化为在xy8条件下求总成本C的最小值则C′4x20,令C′0得唯一驻点为x5,此时有C′′40故x5是唯一极值点且为极小值,即最小值点此时有y3C38所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件,最低成本为38千元55由曲线yx1x2和x轴所围成一平面图形求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积解:平面图形如图062所示此立体可看作X型区域绕y轴旋转一周而得到。利用体积公式Vy2π故Vy2π把xy8代入目标函数得C2x220x88x0的整数)
52.求幂级数
∑13
0




x1
的收敛区间(不考虑区间端点的情况)
解:令x1t,级数化为
∑13
0





t
,这是不缺项的标准的幂级数
因为ρlim
a
113lim
→∞a
→∞13
1

11
113
lim,
→∞1
33
3

b
a
xfxdx
y
显然,抛物线与x两交点分别为(1,0)(2,0)平面图形在x轴的下方、

1故级数∑t
的收敛半径R3,即级数收敛区间为(3,3)
ρ
013∞
对级数∑x1
有3x13,即2x413
0故所求级数的收敛区间为2,(4)253.求微分方程xdy2xyx1dy0通解21x2解:微分方程xdy2xyx1dx0可化为y′y2,这是一阶线性微xx
5


b
a
xfxdx
2121
2π∫xx1x2dx2π∫x33x22xdx
x4π2πx3x2421
2
yx1x2
1O2x
图062
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得分评卷人五、证明题(6分)证明题(
56设fx在aa(a0,为常数)上连续,证明:

并计算
a
a
fxdx∫fxfxdx
0
a
∫π1e
44
0
π
cosx
x
dx
证明:因为而故

a
a
fxdx∫fxdx∫fxdx,
0a
xt0aaa00
a
0

aa
fxdx∫ftdt∫ftdt∫fxdx,

a
fxdx∫fxdx∫fxdx∫fxdx∫fxdx
0a00
a
0
a
a
即有

a
a
fxdx∫fxfxdx
0
a
利用上述公式有

π4π4
ππexcosxcosxcosx14dx∫dx∫4cosxdxxxxx01e01e1e1ex1e
4∫4cosxdxsi
x00
π
π
22
6
fr
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