∫x4dxx52x2010010
2
2x
o1
图061
x
问题转化为在xy8条件下求总成本C的最小值则C′4x20，令C′0得唯一驻点为x5，此时有C′′40故x5是唯一极值点且为极小值，即最小值点此时有y3C38所以甲、乙两厂最优产量分别为5千件和3千件，最低成本为38千元55由曲线yx1x2和x轴所围成一平面图形求此平面图形绕y轴旋转一周所成的旋转体的体积解：平面图形如图062所示此立体可看作X型区域绕y轴旋转一周而得到。利用体积公式Vy2π故Vy2π把xy8代入目标函数得C2x220x88x0的整数）
52．求幂级数
∑13
0
∞



x1
的收敛区间（不考虑区间端点的情况）
解：令x1t，级数化为
∑13
0

∞



t
，这是不缺项的标准的幂级数
因为ρlim
a
113lim
→∞a
→∞13
1

11
113
lim，
→∞1
33
3
∫
b
a
xfxdx
y
显然，抛物线与x两交点分别为（1，0）（2，0）平面图形在x轴的下方、

1故级数∑t
的收敛半径R3，即级数收敛区间为（3，3）
ρ
013∞
对级数∑x1
有3x13，即2x413
0故所求级数的收敛区间为2，（4）253．求微分方程xdy2xyx1dy0通解21x2解：微分方程xdy2xyx1dx0可化为y′y2，这是一阶线性微xx
5
∞
∫
b
a
xfxdx
2121
2π∫xx1x2dx2π∫x33x22xdx
x4π2πx3x2421
2
yx1x2
1O2x
图062
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得分评卷人五、证明题（6分）证明题（
56设fx在aa（a0，为常数）上连续，证明：
∫
并计算
a
a
fxdx∫fxfxdx
0
a
∫π1e
44
0
π
cosx
x
dx
证明：因为而故
∫
a
a
fxdx∫fxdx∫fxdx，
0a
xt0aaa00
a
0
∫
aa
fxdx∫ftdt∫ftdt∫fxdx，
∫
a
fxdx∫fxdx∫fxdx∫fxdx∫fxdx
0a00
a
0
a
a
即有
∫
a
a
fxdx∫fxfxdx
0
a
利用上述公式有
∫
π4π4
ππexcosxcosxcosx14dx∫dx∫4cosxdxxxxx01e01e1e1ex1e
4∫4cosxdxsi
x00
π
π
22
6
fr