，记Aa1a2a
Ga1a2a
1
H
1a11a21a
Dra1ra2ra
r
1rr≠0a1a2a
1
r0它们分别称为这
个正数的算术平均、几何平均、调和平均及r次幂平均，则有下列平均值不等式成立：iH≤G≤A，等号成立当且仅当a1a2a
ii当sr时，Ds≤Dr，等号成立当且仅当a1a2a
注意不等式i仅是ii的特殊情形：D1≤D0≤D1（2）柯西Cauchy不等式设a1a2a
及b1b2b
为实数，则∑aibi2≤∑ai2∑bi2，等号成立当且仅当存在常数λ，μ（不全为零）使λaiμbii12
。当aibi都不为零时，等号成立的充要条件可写为a1b1a2b2a
b
（3）赫尔德Holder不等式设a1a2a
b1b2b
为正实数，pq为正实数且1p1q1，则得∑aibi≤∑aip1p∑biq1q①，等号成立当且仅当a1pb1qa2pb2qa
pb
q在①中令xiabiyibiqi12
pα1α≥0，即αp1pq，则①可等价地写为：当α≥0时，有∑xiα1yiα≥∑xiα1∑yiα②并且②中等号成立当且仅当x1y1x2y2x
y
不等式①叫做赫尔德不等式，它的等价形式②我们称为权方和不等式（4）排序不等式给定实数a1≤a2≤≤a
和b1≤b2≤≤b
，设i1i2i
是12
的任意排列，则a1b
a2b
1a
b1≤a1bi1a2bi2a
bi
≤a1b2a2b2a
b
等号成立当且仅当a1a2a
或b1b2b
（5）切比雪夫不等式若a1≤a2≤≤a
b1≤b2≤≤b
，则∑aibi≥1
∑ai∑bi；若a1≤a2≤≤a
b1≤b2≤≤b
，则∑aibi≤1
∑ai∑bi，等号成立当且仅当a1a2a
或b1b2b
（6）伯努力Ber
oulli不等式设x1则当0α1时有1xα≤1αx；当α0或α1时，有1xα≥1αx；等号称里当且仅当x0（7）凸函数不等式
fi定义：设fx是定义在区间I上的函数，故对任意x1x2∈Ix1≠x2及任意实数α0α1，有fαx11αx2α1fx1α2fx2，则成fx为区间I上的严格下（上）凸函数ii凸函数的判定：如果对任意的x∈I，有fx00，则fx是区间I上的下（上）凸函数iii琴生Je
se
不等式：设fx为区间I上的严格下（上）凸函数，则对任意x1x2x
∈I以及任意正实数α1α2α
α1α2α
1有f∑aixi≤≥∑aifxi，等号成立当且仅当x1x2x
※※第四讲不等式※※结束※※第五讲三角函数※※三角函数的性质（1）有界性对任意角α，都有si
α≤1cosα≤1，这一性质称为正、余弦函数的有界性。竞赛解题中还常常用到1±si
α≥0Asi
αBcosα≤√A2B2等式子（2）奇偶性与对称性正弦函数、正切函数和余切函数都r