一个与正整数
有关的命题，如果①P
对无限多个正整数
成立；②假设
k时，命题P
成立，则当
kl时，命题P
也成立，那么根据①②对一切正整数
≥1时，P
成立。（2）应用数学归纳法的技巧
f起点前移：有些命题对一切大于等于1的正整数
都成立，但命题本身对
0也成立，而且验证起来比验证
1时容易，因此用验证
0成立代替验证
1；同理，其他起点也可以前移，只要前移的起点成立且容易验证就可以。因而为了便于起步，有意前移起点。起点增多：有些命题在由
k向
k1跨进时，需要经其他特殊情形作为基础，此时往往需要补充验证某些特殊情形，因此需要适当增多起点。加大跨度：有些命题为了减少归纳中的困难，适当可以改变跨度，但注意起点也应相应增多。选择合适的假设方式：归纳假设不一定要拘泥于“假设
k时命题成立”，而需要根据题意采取第一、第二、跳跃、反向数学归纳法中的某一形式，灵活选择使用。变换命题：有些命题在用数学归纳法证明时，需要引进一个辅助命题帮助证明，或者需要改变命题（即将命题一般化或加强），才能满足归纳的需要，才能顺利进行证明。（3）归纳猜想证明在数学中，通过特例或根据一部分对象得出的结论可能是正确的，也可能是错误的，这种由个别事实得出一般性结论的不严格的推理方法称为不完全归纳法。不完全归纳法是发现规律、解决问题的极好方法。但不完全归纳法得出的结论，只能是一种猜想，其正确与否，必须进一步检验或证明。我们经常采用数学归纳法来证明这种猜想。※※第三讲数列与数学归纳法※※结束※※第四讲不等式※※常见不等式的解法（1）高次不等式设fxxa1xa2xa
其中a1a2a
当
为偶数时，fx0的解为a
∞∪a
2a
1∪a
4a
3∪∪a2a3∪∞a1而fx0的解为a
1a
∪a
3a
2∪∪a1a2当
为奇数时，fx0的解为a
∞∪a
2a
1∪a
4a
3∪∪a2a1而fx0的解为a
1a
∪a
3a
2∪∪∞a1（2）分式不等式fxgx0fxgx0fxgx≤0fxgx≤0gx≠0（3）无理不等式√fx≥gxfx≥0gx≥0fx≥gx2或fx≥0gx≤0√fxgxfx≥0gx0fxgx2（4）绝对值不等式fx≤gxgx≤fx≤gxfxgxfxgx或fxgx
f（5）指数、对数不等式a1时，afxagxfxgx0a1时，afxagxfxgxa1时，logafxlogagxfxgx00a1时，logafxlogagx0fxgx几个重要的著名不等式（1）平均值不等式设a1a2a
是
个正实数r