角FCC1B的余弦值为3．…………12分
19．（本小题满分13分）
y2x2212ab0，由已知c1。b解法一：Ⅰ设椭圆方程为a
22222a222022又．
22
y22222所以a2bac1，椭圆C的方程是x21．…………4分
Ⅱ若直线l与x轴重合，则以AB为直径的圆是xy1…………5分
22
11622若直线l垂直于x轴，则以AB为直径的圆是x3y9．…………6分
x2y21x112162xyy0即两圆相切于点1，０．…………7分39由解得
因此所求的点T如果存在，只能是1，0．事实上，点T1，０就是所求的点．证明如下：
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f当直线l垂直于x轴时，以AB为直径的圆过点T1，0．
1若直线l不垂直于x轴，可设直线l：ykx3．
1ykx3221x2y122222由即k2x3kx9k20．………………9分
2k2xx312k2212k2xx912k22………………10分记点Ax1y1Bx2y2则
又因为TAx11y1TBx21y2
11TATBx11x21y1y2x11x21k2x13x231122k1x1x23k1x1x29k1
2
122k21k2193k2222239k1k2k1k210，
所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆恒过点T1，0．所以在坐标平面上存在一个定点T1，0满足条件．…………13分
y2x212a1．a21解法二：Ⅰ由已知c1，设椭圆C的方程是a
112212a1解得a22，因为点P在椭圆C上，所以a
x2y212．………………4分
所以椭圆C的方程是：
Ⅱ假设存在定点Tu，v满足条件．
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f2122同解法一得k2x3kx9k20．………………6分
22
2k2x1x223k21k22xx912k22…………7分记点Ax1y1，Bx2y2则
11又因为TAx1uy1vTBx2uy2v及y1kx13y2kx23．
所以TATBx1ux2uy1vy2v
112k2222k1x1x23kukvx1x29k3vuv
2
122k21k21293k2k222222k1k23kukvk293vuv，
3u22u3v25k24vk6u26v263k22．…………10分
当且仅当TATB０恒成立时，以AB为直径的圆恒过点T．
TATB０恒成立等价于
3u22u3v2504v06u26v260
解得u1v0．此时，以AB为直径的
圆恒过定点T1，０．……………………13分
116x2y2r