与点C重合）AOB在平移过，△程中与△COD重叠部分面积记为S．试探究S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
2
【答案】解：（1）∵抛物线yaxbxc经过点O，∴c0。又∵抛物线yaxbxc经过点A、C，
2
2
3a2ab2∴，解得。4a2b1b72
∴抛物线解析式为yx2x。（2）设点P的横坐标为t，∵PN∥CD，∴△OPN∽△OCD，可得PN
32
72
t。∴P（t，2
t）。2
∵点M在抛物线上，∴M（t，t2t）。如图1，过M点作MG⊥AB于G，过P点作PH⊥AB于H，
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f7373AGyAyM2t2tt2t2，2222
tBHPN。2
当AGBH时，四边形ABPM为等腰梯形，∴t2t2，化简得3t8t40。
2
32
72
t2
解得t12（不合题意，舍去）t2，∴点P的坐标为（，）。
2，3
2133
∴存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯形。（3）如图2，AOB沿AC方向平移至△A′O′B′，′B′△A交x轴于T，交OC于Q，A′O′交x轴于K，交OC于R。由A、C的坐标可求得过A、C的直线为yACx3设点A′的横坐标为a，则点A′（a，a3），易知△OQT∽△OCD，可得QT∴点Q的坐标为（a，
2133
a。2
2）。3HTAQ。OBAJ
设AB与OC相交于点J，∵△A′RQ∽△AOJ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴
AQ∴HTOBAJ
∴KT
13aa212a。122
11a3A′T（3a）A′QyA′yQ（a3）3a。，222211∴S四边形RKTQS△A′KTS△A′RQKTA′TA′QHT22
13a131331333a3aa2a2aa2222224228
。∵＜0，
2
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f∴在线段AC上存在点A′（，最大值为。
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3），能使重叠部分面积S取到最大值，2
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【考点】二次函数综合题，二次函数的图象和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值，等腰梯形的性质，相似三角形的判定和性质，图形平移的性质以及几何图形面积的求法。【分析】（1）抛物线yaxbxc经过点O、A、C，利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）根据等腰梯形的性质，确定相关点的坐标以及线段长度的数量关系，得到一元二次方程，求出t的值，从而可解。结论：存在点P（，），使得四边形ABPM为等腰梯r