的通项公式【解析】利用a
x2a
1x求得a
12a
11a
1是首项为
a112公比为2的等比数列即a
12
a
2
1反思：构造新数列的实质是通过a
1xqa
x来构造一个我们所熟知的等差或等比
数列
六
、倒数变换：将递推数列
a
1

ca
a
d
c0d
0取倒数变成1a
1

dc
1a

1c
的形
式的方法叫倒数变换。然后就转变为第五种情况，此时将数列

1a


看成一个新的数列，即
再利用“构造新数列”的方法求解。
例6、
已知数列a
N中
a1
1a
1

a
2a
1
求数列
a

的通项公式
【解析】将a
1

a
2a
1
取倒数得
121
a
1
a

1a
1

1a


2

1a


是以
1a1
1
为首项公差为2的等差数列
1a

12
1
a


1
2
1
反思倒数变换有两个要点需要注意一是取倒数二是一定要注意新数列的首项公差或公比变化了。
七、特征根法：形如递推公式为a
2pa
1qa
（其中p，q均为常数）。
对于由递推公式a
2pa
1qa
，有a1a2给出的数列a
，方程x2pxq0，叫做数列a
的特征方程。
若x1x2是特征方程的两个根，
f当x1x2时，数列a

的通项为a


Ax1
1

Bx

12
，其中
A，B
由a1
a2


决定
（即把a1a2x1x2和

12，代入a


Ax1
1

Bx

2
1
，得到关于
A、B
的方程组）；
当x1x2时，数列a
的通项为a
AB
x1
1，其中A，B由a1a2决定（即
把a1a2x1x2和
12，代入a
AB
x1
1，得到关于A、B的方程组）。
例7数列a
满足3a
25a
12a
0
0
N，a1aa2b求a

【解析】：由题可知数列的特征方程是：3x25x20。
x1
1x2

23


a


Ax1
1

Bx

12

A

B


23

1
。又由
a1
aa2
b，于是
ab

AA

B2B3

AB

3b2a3ab
故a


3b

2a
3a
b2
13
反思：本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出AB的用已知量ab表示的值，从而可得数列a
的通项公式。
八、不动点法
若AB0且ADBC0，解xAxD设为其两根
CxD
I、若a，数列
是等比数列；a
II、若，数列1是等差数列。
a

例8、已知数列a
满足a
1

7a
2a


23
，a
1
2，求数列a
的通项公
式。
f【解析】：令x

7x2x

23
，得2x2
4x

2
0，则x1是函数fx

3x14x7
的不动点。
因为
a
1
1
7a
2a

23
1
5a
2a

53
所以
1a
11
2a
5a

3

2

a


32
55a
1
215
5212，a
1a
15
所以
数列
a
1
1
是以
1a11

121
1
为首项，以
25
为公差的等差数列，则
1a
1
1


1
25
，故a


2
2
r