83
。
反思：本题解题的关键是先求出函数
f
x

3x4x
17
的不动点，即方程
x

7x2x

23
的
根
x
1，进而可推出
1a
1
1

a
1
1

25
，从而可知数列a
1
1
为等差
1
数列，再求出数列a


1
的通项公式，最后求出数列
a



的通项公式。
九、换元法即是将一复杂的整体用一个新的符号来表示，从而使递推数列看起来更简
单，更易找到解决的方法。
例
9、
已知数列a
满足a
1

116
1

4a



124a
，a11，
求数列a
的通项公式。
【解析】：令b

124a

，则a


124
b
2

1
故a
1

124
b
2

1
1
f代入a
1

116
1

4a



124a
得
124
b
2

1
11116
4
124
b
2

1b

即
4b
2

1
b

32
因为b
124a
0，故b
1124a
10
则2b
1
b

3，即b
1

12
b



3
，
2
可化为b
1
3
12b

3，
1所以b
3是以b13124a13124132为首项，以2
为公比的等比数列，因此b

321
12


12



2
，则
b


1
22
3，即
124a

1
22
3，得a

21
34
1
2

13
。
反思：本题解题的关键是通过将124a
的换元为b
，使得所给递推关系式转化
b
1

12
b



32
形式，从而可知数列b

3为等比数列，进而求出数列
b
3的通项公式，最后再求出数列a
的通项公式。
十、取对数法：形如a
1pa
rp0a
0这种类型一般是等式两边取对数后转化为a
1pa
q，再利用构造新数列（待定系
数法）求解。
例
10：已知数列｛
a

｝中，a1
1a
1

1a

a
2

a

0
，求数列a
的通项公式。
f【解析】：由a
1

1a
a
2
两边取对数得lg
a
1

2lg
a


lg
1a
，
令b


lga
，则b
1

2b

lg
1a
，再利用构造新数列（待定系数法）解得：a


a12
1。a
十一、周期型：由已知递推式计算出前几项，寻找周期。此题型一般是在不能运用以上各种方法的情况下可考虑到这种方法，具有一定的探索性，虽然比较简单，但也是一种很重要的数学思想，需要好好掌握。
例
11：若数列a
满足a
1

2a
0

a


12
2a

112

a

1
，若a1

67
，则a20的值为___________。
反思：此题的关键在于观察递推数列的形式，取一些特定的
的值，求出数列的前几项的值，从而找到其周期，这样问题就迎刃而解了。
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