§32求导法则（一）
教学内容1函数的和、差、积、商的求导法则；2反函数的求导法则；3复合函数的求导法则教学重点与难点导数的运算法则及导数基本公式
简要复习上节内容1导数的定义；2导数的定义的几种形式；3可导的充要条件；4函数可导与连续的关系；5导数的几何意义、物理意义
一、导数的四则运算法则
设uuxvvx都在x处可导，则有
①uvuv；
②uvuvuv；cucu；
③uv

vuuvv2

我们现在只证明②
证设fxuxvx则
fxlimfxhfxlimuxhvxhuxvx
h0
h
h0
h
limuxhvxhuxhvxuxhvxuxvx
h0
h
limuxhvxhvxlimvxuxhuxuvuv
h0
h
h0
h
例1fxx34cosxsi
，求fx，f
2
2
解fx3x24si
x，f32424
例2
求
y

x2
loga
x

3ta

x

1si

x
的导数
解
y

2xloga
x

x2xl
a

3sec2
x

cosxsi
2x

f
2x
loga
x

xl
a

3sec2
x

csc
x
cot
x

二、反函数求导法
法则：若xy单调、连续，在y处可导且y0则它的反函数
yfx在对应点x处可导，单调且fx1y
证
由单调性当x

0时，y

0从而
yx

1x
y
，又因为
y

f
x连续，
当x0，y0，从而fx1y
利用以上定理可以证明：
arcsi
x1，1x2
arcta

x

11x2
，
三、复合函数求导法则
arccosx1；1x2
arccot
x


1
1x
2

法则：设yfx是由yfuux复合而成若ux在x处
可导，而yfu在u处可导则yfx在x处可导且dydydudxdudx
证yfu在u处可导，则有limyfu，yfu，其中
u0u
u
0可以推得
yfuuu
①
用x0除以①式有yfuuu，所以
x
xx
dylimfuulimudydu
dxx0
xx0xdudx
这个法则相当重要，称为复合函数的链式法则复合过程可推广到多个情形
例3求e3x
解ye3x为yeuu3x复合而成，所以dydydueu33e3xdxdudx
例4求yl
ta
x
解yl
ta
x由yl
uuta
x复合而成，所以
fdydydu1sec2x2csc2xdxdudxu注：在熟练掌握的基础上，可不必写出复合过程，可直接写出结果
例5yl
x1x2
解y
1
1x1
x1x2
1x21x2
例6fxx2a2aarccosax
解fx
xax2a2
1
1

a2x2

ax2


xa2xx2a2x2x2a2
例7yfaxb

解y
faxb
1faxba
例8yarctgl
axb
解
y

1

l
2
1ax

b
1ax
b
a

例9已知fxxx1x2x100，求f0
法1：f0limfxf0limxx1x2x100100！
x0x0
x0
x
法
2
：
fxx1r