第二章
导数与微分
第一节导数概念
一引例
1直线运动的速度
平均速度
ss0ftft0tt0tt0
tt0
动点在时刻t0的瞬时速度vlim2切线问题
ftft0tt0
二
导数的定义
1函数在一点处的导数与导函数定义设函数yfx在点x0的某个邻域内有定义，当自变量x在x0处取
得增量xxx0（点x0x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量
yfx0xfx0如果lim
x0
y存在，则称函数yfx在点x0处可x
1
f导，并称这个极限为函数yfx在点x0处的导数，记为yxx，即
yxxlim
0
fx0xfx0fxfx0ylimlimx0xx0xx0xxx0
0
也可记作fx0，
dydx
或
xx0
dfxdxxx
0
若导数fx0不存在，则称f在x0不可导若lim的导数为：fx0
x0
y，则称f在x0处x
如果函数yfx在开区间I内每一点处可导，就称函数fx在开区间I内可导这时，对于任一xI都对应着fx的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做原来的函数yfx的导函数，记作y，
fx，
dydfx或dxdx
设一质点沿一条直线运动其位移sft而t为时间则该质点在t时刻的速度为ft
函数yfx的图象在点P0x0fx0处的切线的斜率为fx0
2求导数举例例1例6删记住以下导数公式：


C0C为常数
xx

1
x21x
112xx
si
xcosxcosxsi
x
aa
x
x
l
aa0a1
ee
x
x
logax
l
x
1x
1xl
a
2
f3单侧导数自学函数在ab内可导在ab上可导
三
导数的几何意义
如果fx00，则曲线yfx在点Mx0y0处的切线方程为
yy0fx0xx0．
过切点Mx0y0且与切线垂直的直线叫做曲线yfx在M处的法线如果fx00，则法线方程为
yy0
1xx0．fx0
3
f例7求等边双曲线y切线方程和法线方程．
11在点2处的切线的斜率，并写出在该点处的x2
122
y1x
115x48
yy
4x4
解所求切线的斜率为k1yx1r