的平面；C过oz轴的平面；D直线．
例4′（选择题）方程x2y在空间表示的是（（
2
B
）
A抛物线；C母线平行于x轴的柱面；
B抛物柱面；D旋转抛物面
多元函数微分法及其应用第七章多元函数微分法及其应用
（一）基本概念1二元函数：定义域和对应规律为zfxy的两要素，其定义域为平面上的点集．例5填空题二元函数z
x0y0或l
xy的定义域是Dxyx01y01y
二元函数z
1x2y222的定义域为Dxyxy≤1xy1l
1xy


2极限：函数zfxy的极限为A，是指点xy以任何方式任何方式沿某路径趋于点任何方式
x0y0时，fxy→A，记为limfxyA
x→x0y→y0
例6证明：极限lim
x→0y→0
x2y2不存在．x2y2xy2
证明如果动点Pxy沿yx趋于点00时，则
lim
x→0y→0
x2y2x4lim41x2y2xy2x→0x
如果动点Pxy沿y2x趋于点00时，则
lim
x→0y→0y2x
x2y24x4lim40x2y2xy2x→04xx2
因沿不同路径，极限值不一，故原极限不存在3连续：函数zfxy在点x0y0连续，必须同时满足三个条件，缺一不可：（1）在Ux0y0内有定义；（2）limfxy存在；（3）limfxyfx0y0
x→x0y→y0x→x0y→y0
否则间断．
5
f例7（单选题）设z
xy1x2y2
，下面结论正确的是（
D
）
A在XOY平面上连续；B在XOY平面上不连续；C在XOY平面上只有1001为间断点；D在XOY平面上，只有在区域x2y21内，函数连续
2x2y2xy≠002例7′单选题函数fxyxy20xy00
A连续；C极限不存在；
（二）偏导数1定义与计算偏导数
在点00处（
C
）
B有极限但不连续；D无定义
zzz是整体记号，不具有商的意义，求时，把zfxy中的y固定xyx
（看作常数），利用一元函数的求导公式和法则求出．记住：偏导函数记住
zz与一点的偏导数fx′x0y0xx
xx0yy0
记号不同，及它们之间的关系
例8（填空题）设fxyxy2高阶偏导数（以二阶为主）：
x2y2，则fx′34
25
′′fxxxy
2zzx2xx
′′fyyxy
2zzy2yy2zzyxxy
′′fxyxy
2zzxyyx
′′fyxxy
（注意注意：二阶混合偏导数r