1的一个法向量．2平面BDEF的一个法向量．
图3－2－3
【解】设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则D000，B220，A200，C020，
E102
f1连AC，因为AC⊥平面BDD1B1，所以A→C＝－220为平面BDD1B1的一个法向量．2D→B＝220，D→E＝102．
设平面BDEF的一个法向量为
＝x，y，z．

D→B＝0∴
D→E＝0，
2x＋2y＝0∴
x＋2z＝0，
y＝－x∴z＝－12x
令x＝2得y＝－2，z＝－1
∴
＝2，－21即为平面BDEF的一个法向量长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是面对角线B1D1，A1B上的点，且D1E
＝2EB1，BF＝2FA1求证：EF∥AC1
【自主解答】如图所示，分别以DA，DC，DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设DA＝a，DC＝b，DD1＝c，则得下列各点的坐标：Aa00，C10，b，c，E23a，23b，c，Fa，b3，23c．
∴F→E＝－a3，b3，3c，A→C1＝－a，b，c，∴F→E＝13A→C1又FE与AC1不共线，∴直线EF∥AC1
利用向量法证明线线平行的方法与步骤：
f图3－2－4如图3－2－4所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．【证明】以点D为坐标原点，分别以D→A，D→C，D→D1为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A100，E00，12，C1011，F11，12，
∴A→E＝－10，12，F→C1＝－1，0，12，E→C1＝01，12，A→F＝01，12，∴A→E＝F→C1，E→C1＝A→F，
∴A→E∥F→C1，E→C1∥A→F，
又∵FAE，FEC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，
∴四边形AEC1F是平行四边形
利用空间向量证明线面平行
f面DBC1
图3－2－5如图3－2－5，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AC的中点，求证：AB1∥平
【自主解答】以A为坐标原点建立空间直角坐标系．
设正三棱柱的底面边长为aa0，侧棱长为bb0，
则A000，B23a，a2，0，B123a，a2，b，C10，a，b，D0，a2，0，∴A→B1＝23a，a2，b，B→D＝－23a00，D→C1＝0，a2，b．
设平面DBC1的一个法向量为
＝x，y，z，

B→D＝－23ax＝0，则
D→C1＝a2y＋＝0，
x＝0，∴z＝－2aby
不妨令y＝2b，则
＝02b，－a．
由于A→B1
＝ab－ab＝0，因此A→B1⊥

又AB1平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1
利用空间向量证明线面平行一般有三种方法：
f方法一：证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
方法二：证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
方法三：先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明方向向量与平面的法向量垂直．
在r