。证明：存在这样两个相似的三角形，它们的相似比为1995，并且每一个三角形的三个顶点同色．
2
2
f1995年全国高中数学联赛
冯惠愚
1995年全国高中数学联赛一试解答一、选择题每小题6分，共36分1．设等差数列a
满足3a85a13且a10，S
为其前项之和，则S
中最大的是AS10BS11CS20DS21222解：3a7d5a12d，d－39a，令a
a－39a
－1≥0，a
1a－39a
0，得
20．选C．2．设复平面上单位圆内接正20边形的20个顶点所对应的复数依次为Z1，Z2，…，Z20，则复数Z1，Z2，…，Z20所对应的不同的点的个数是A4B5C10
199519951995

D20ππ解：设z1cosθisi
θ，则zkz1εk－1，其中εcos10isi
10．ε201．ε15－i，ε10－1，ε5i．－－∴zk1995cos1995θisi
1995θε1995k1cos1995θisi
1995θ－ik1．∴共有4个值．选A．3．如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有A1个B2个C50个D100个解：把身高按从高到矮排为1100号，而规定二人比较，身高较高者体重较小，则每个人都是棒小伙子．故选D．4．已知方程x－2
kx
∈N在区间2
－1，2
1上有两个不相等的实根，则k的取值范围是Ak01C2
1k≤B0k≤12
1
1D以上都不是2
1解：由x－2
≥0，故k≥0，若k0，可知在所给区间上只有1解．故k0．1由图象可得，x2
1时，kx≤1．即k≤．故选B．2
1又解：yx－2
2与线段yk2x2
－1x≤2
1有两个公共点．x2－4
k2x4
20有2
－1，2
1上有两个根．故△4
k22－16
20．且2
－12－4
k22
－14
20，2
1211－4
k22
14
2≥0，2
－12
2k22
1．k≤．2
15．logsi
1cos1，logsi
1ta
1，logcos1si
1，logcos1ta
1的大小关系是Alogsi
1cos1logcos1si
1logsi
1ta
1logcos1ta
1Blogcos1si
1logcos1ta
1logsi
1cos1logsi
1ta
1yClogsi
1ta
1logcos1ta
1logcos1si
1logsi
1cos1ycos1xDlogcos1ta
1logsi
1ta
1logsi
1cos1logcos1si
1ysi
1x解：故0cos1si
11ta
1．logsi
1ta
10，412，logcos1ta
10，logsi
1cos10，logcos1si
10，设logsi
1cos1a，则得si
1acos1si
1，a1；logcos1si
1b，则cos1bsi
1cos1，0b1；即logcos1si
1logsi
1cos1．
3


ta
111si
11cos11
cd
O
b
ax
3
f1995年全国高中数学联赛
cd
冯惠愚
设logsi
1ta
1c，logcos1ta
1d，则得si
1cos1ta
1，指数函数图象进行比较，cd．即logsi
1ta
1logcos1ta
1故选C．6．设O是正三棱锥PABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与11r