11b1b
1≥
1b
22满足
∈N求证
a
1a
22a1
1a
1
2
111121a11a21a
∴
（Ⅰ）
点评：把复杂的问题转化成清晰的问题是数学中的重要思想，本题中的第（3）问不等式的证明更具有一般性。
0a
1a
1
（Ⅱ）
（Ⅲ）若
22则当
≥2时b
a

分析：第（1）问是和自然数有关的命题，可考虑用数学归纳法证明；第（2）问可利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。解：Ⅰ先用数学归纳法证明（1）当
1时由已知得结论成立
b31b
1
a1a
12a
1
∈Na例题3已知数列
满足1
0a
1
∈N
a（Ⅰ）求数列
的通项公式；b4（Ⅱ）若数列
满足
b11
4
b21
4
4
a
1
b

b，证明：
是等差数列；
（2）假设当
k时结论成立即
0ak1
则当
k1时
1112
∈Naa3a
13（Ⅲ）证明：2
分析：本例（1）通过把递推关系式转化成等比型的数列；第（2）关键在于找出连续三项间的关系；第（3）问关键在如何放缩解：（1）故数列
因为0x1时又fx在
f′x1
1x0x1x1所以fx在01上是增函数
01上连续所以f0fakf1即0ak11l
21
0a
1
对于一切正整数都成立从而
∵a
12a
1∴a
112a
1
，
故当
k1时结论也成立即
a
1
是首项为2，公比为2的等比数列。
∴a
12

，
a
2
1
又由
0a
1
得
a
1a
a
l
1a
a
l
1a
0
a
1a


f综上可知
0a
1a
1
因为
a1
5155550a20a30a
0a
444444，…，即
x2x2l
1xxⅡ构造函数gx2fx20x1
增函数又gx在
x2g′x01x由知gx在01上
因为
01上连续所以
gxg00
0a
1所以ga
0即
31b
12b
1531531b
a
a
1b
1225422a
1422a
14（3）当
≥2时，，
2
1
3所以b
2b
12b
22b12，
a
2a
2fa
a
1220从而
b
1
111b1b
1≥
1b
≥b0b
222Ⅲ因为所以
bbb1b

12b1≥
b
1b
2b12所以a
a2a3aaaa
12
1aaaa
1222所以112a
1a
aa
1
22知a
由Ⅱ
2
111S
b1b2b
422所以
3

112
142
1124
点评：本题是函数、不等式的综合题，是高考的难点热点。例r