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学习导数之前,求解切线问题,一般的方法是直线方程与曲线方程(一般是二次方程)联立组成方程组,消去y,变成关于x的一元二次方程,利用判别式Δ0来求解。学习导数之后,由导数的几何意义我们知道,曲线上某点的切线就是过该点曲线的割线的极限。例如:(1)求函数f(x)x2x在(2,2)点处的切线方程。分析:首先验证点是否为切点,把(2,2)点带入函数,f(2)2222,则
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(2,2)点为切点,f(x)2x1,过该点的切线斜率kf(2)2x213,切线方程为y23(x2),即y3x4。(2)求函数f(x)x2x在(2,1)点处的切线方程。分析:首先验证点(2,1)不在曲线上,不是切点,所以设切点为P(x0,y0),则切点P坐标满足y0x02x0,P点的切线斜率为kf(x0)2x01,切线方程为yy0(2x01)(xx0),把y0x02x0及点(2,1)代入切线方程,得1(x02x0)(2x01)(2x0),整理得x01,x03,故切点为(1,0)和(3,6),切线方程为yx1和y11x63。策略:此类问题首先确定给出点是否为切点(是否在曲线上),若是,求出切线斜率(即该点导数),由点斜式求出切线方程。若不是,设出切点,表示出切线斜率和切线方程,代入已知函数方程和点的坐标,求出切点进而求出切线方程。3运用微积分求函数的单调区间、极值和最值问题的教学策略。例如:求函数f(x)exax2的单调区间。分析:函数f(x)的定义域为(∞,∞),f(x)exa。若a≤0,则f(x)0,所以f(x)在(∞,∞)上单调递增;若a0,令f(x)0,则xl
a。所以在(∞,l
a)上,函数f(x)单调递减;在(l
a,∞)上,函数f(x)单调递增,此时f(l
a)aal
a2为极小值也是函数的最小值。策略:对于解决函数单调性极值问题,首先分析定义域,让学生明白定义域是函数的灵魂,求出f(x)0的点作为分界点,把定义域分成几个小区间,当f(x)0时f(x)单调递增。对于极值和最值问题,要注意极值不一定是最值,最值如果在区间的内部一定为极值,若闭区间上的最值问题应把极值与端点值进行比较,开区间上如果有单数个极值点那么必有一个为最值,若偶数个极值点无法确定是不是最值。4运用微积分解决不等式问题的教学策略。例如:证明当x0时,exsi
x。分析:构造辅助函数,令f(x)si
xex,且f(0)1,f(x)cosxex,由于在x∈(0,∞)上,cosx1,从而f(x)si
xex在x∈(0,∞)是单调减函数,又由于f(0)1,从而f(x)si
xexsi
x在x∈(0,∞)恒成立。策略:对于解决r
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