（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分）在数列a
中，a13a
1a
a
1a
0
N
2
（1）若02求数列a
的通项公式；（2）若
111ak012k0Nk021证明：2k03k012k01
【答案】（1）a
32
1；（2）证明见解析
试题分析：1由0，2有a
1a
2a
2
N
f若存在某个
0N，使得a
00，则由上述递推公式易得a
010，重复上述过程可得
a10，此与a13矛盾，所以对任意
Na
0
从而a
12a
N，即a
是一个公比q2的等比数列故a
a1q
132
12由
1，1，数列a
的递推关系式变为k0
a
1a

11a
1a
20变形为a
1a
a
2
Nk0k0
由上式及a13，归纳可得
3a1a2
a

a
a
1
2
0
a
2
因为a
1
1a
k0
1122k0k0111，所以对
12a
1kkka1000
a
k0
k0
求和得ak01a1a2a1


ak01ak0


11111k0k0k0ak01k0a11k0a211111122k03k013k013k013k01a1k0
另一方面，由上已证的不等式知a1a2
ak0ak012得
ak01a1k0
1111k0k0ka1ka10102

k0ak011
2
1
111k02k012k01
ak01212k01

122k012k011
综上：2
3k01
考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法
f（江苏）20（本小题满分16分）设a1a2a3a4是各项为正数且公差为dd0的等差数列（1）证明：21222324依次成等比数列；（2）是否存在a1d，使得a1a22a33a44依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在a1d及正整数
k，使得a1a2理由

k
2k
3ka3a4依次成等比数列，并说明
aaaa
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在
（2）令a1da，则a1，a2，a3，a4分别为ad，a，ad，a2d（ad，
a2d，d0）．
假设存在a1，d，使得a1，a2，a3，a4依次构成等比数列，
234
f则a4adad，且ada2a2d．
364
令t
d1364，则11t1t，且1tr