旋转一下就能重合的排法认为是相同的．解：每个女孩与其后的两个男孩组成一组，共8组，与余下9个男孩进行排列，某个女孩
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f1990年全国高中数学联赛
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冯惠愚
始终站第一个位子，其余7组在89－1个位子中选择7个位子，得C89－1C16种选法．7个女孩可任意换位，25个男孩也可任意换位，故共得C16725种排列方法．三．本题满分20分2abπ已知a，b均为正整数，且ab，si
θa2b2，其中0θ2，A
a2b2
si
θ．求证：对于一切自然数
，A
均为整数．a2－b22ab证明：由si
θa2b2，得cosθa2b2．记A
a2b2
cos
θ．当a、b均为正整数时，A12ab、B1a2－b2均为整数．A24aba2－b2，B22a2－b22－a2b22也为整数．若Aka2b2ksi
kθ、Bka2b2kcoskθ均为整数，则Ak1a2b2k1si
k1θa2b2k1si
kθcosθa2b2coskθsi
θAkB1A1Bk为整数．Bk1a2b2k1cosk1θa2b2k1coskθcosθ－a2b2k1si
kθsi
θBkB1－AkA1为整数．由数学归纳原理知对于一切
∈N，A
、B
为整数．四．
2个正数排成
行
列
a11a12a13a14a1
a21a22a23a24a2
a31a32a33a34a3
a41a42a43a44a4
a
1a
2a
3a
4a

7
1其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等．已知a241，a428，3a4316，求a11a22a
．1990年全国高中数学联赛分析由a42、a43或求a44，由a24，a44可求公比．解设第一行等差数列的公差为d，各列的公比为q．1∴a442a43－a424．由a44a24q2，得，1q2∴a12a42q－31．∴∴∴令S
a11a22a
．
6
d
a14－a1212，4－2
1a1ka12k－2d2kk1，2，3，，
11k－11kakka1kqk－12k22k．
f1990年全国高中数学联赛
冯惠愚
则

k
1k－11
11
S－SkΣ1k－kΣ2kkΣ2k－
1222222111
222－2
－2
11－2
1

2∴S2－2
．五．设棱锥MABCD的底面为正方形，且MAMD，MA⊥AB，如果△AMD的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径．M解：取AD、BC中点E、F，则ME⊥AD，AB⊥MA，AB⊥AD，AB⊥平面MAD，R∴平面MAD⊥平面ABC．∴ME⊥平面ABC．OHCQD∴平面MEF⊥平面ABC．FEP∵EF∥AB，故EF⊥平面MAD，∴平面MEF⊥平面MAD．AB∵BC⊥EF，BC⊥ME，∴BC⊥平面MEF，∴平面MEF⊥平面MBC．2424设ABa，则MEa，MFa2a2．aa22，a2a22．取△MEF的内切圆圆心O，作OP⊥EF、OQ⊥ME，OR⊥MF，由于平面MEF与平面MAD、ABC、MBC均垂直，则OP、OQ、OR分别与平面ABC、MAD、MBC垂直．从而以此内切圆半径为半径的球与平面MAD、ABC、MBC都相切，设r