B．1C．2D．多于2
12

1990年全国高中数学联赛

1111解：x33y39xy0．但x33y393113x3y39时，即x3
33
3
131x3，等号当且仅当3y9xy错误！未指定书签。
9，y3
3
时成立．故选B．
x1990y19905．设非零复数x、y满足x2xyy20，则代数式xyxy的值是A．2－1989B．－1C．1D．以上答案都不对x解：yω或ω2，其中ωcos120°isi
120°．1ωω20．且ω31．xω199011990x2ω219901若yω，则得1ωω1－1．若yω，则得1ω2ω211990－1．选B．x2y26．已知椭圆a2b21ab0通过点2，1，所有这些椭圆上满足y1的点的集合用阴影表示是下面图中的
4
f1990年全国高中数学联赛
冯惠愚
y
21
y
21
y
21
y
21
xO
5，0
xO
21
O
x
5，0
xO
21
A
B
C
D
411415415解：a2b21，由a2b2，故得b21b2b2b2，1b5．a2b21a21，a25．故选C．二．填空题本题满分30分，每小题5分111．设
为自然数，a、b为正实数，且满足ab2，则1a
1b
的最小值是．ab2111a
1b

解：ab21，从而ab1，故1a
1b
1a
b
a
b
1．等号当且仅当ab1时成立．即所求最小值1．2．设A2，0为平面上一定点，Psi
2t－60°，cos2t－60°为动点，则当t由15°变到45°时，线段AP扫过的面积是．y解：点P在单位圆上，si
2t－60°cos150°－2t，cos2t－1360°si
150°－2t当t由15°变到45°时，点P沿单位圆从－2，2xO131运动到22．线段AP扫过的面积扇形面积6π．3．设
为自然数，对于任意实数x，y，z，恒有x2y2z22
x4y4z4成立，则
的最小值是．222244422解：xyzxyz2xy2y2z22z2x2x4y4z4x4y4y4z4z4x43x4y4z4．等号当且仅当xyz时成立．故
3．4．对任意正整数
，连结原点O与点A
，
3，用f
表示线段OA
上的整点个数不计端点，试求f1f2f1990．
3解线段OA
的方程为y
x0x
，故f
等于该线段内的格点数．k1若
3kk∈N，则得ykx0x
k∈N，其内有两个整点k，k1，2k，2k2，此时f
2；若
3k±1k∈N时，则由于
与
3互质，故OA
内没有格点，此时f
0．1990∴f1f2f199021326．35．设
1990，则122C43699419989951990C．
－3C
1－3C
3
－3C
321313131解：取－22i1990展开的实部即为此式．而－22i1990－22i．故原式－2．6．8个女孩与25个男孩围成一圈，任何两个女孩之间至少站两个男孩，则共有种不同和排列方法．只要把圆r