aabcdbcd0c0
00drrrrrrrrrrrr四．已知向量组α1α2α3线性无关，且β1α1α3，β22α3，β3α1α23α3。rrr证明向量组β1β2β3线性无关。（12分）rrrr答案：设k1β1k2β2k3β30，即rrrrrrrk1α1α3k22α3k3α1α23α30rrrr整理得k1k3α1k3α2k12k23k3α30
k30k1rrr由于α1α2α3线性无关，故有k30k2k3k0231101
系数行列式D0
012≠0，由克拉默法则，方程组有唯一零解：123rrrk1k2k30，所以β1β2β3线性无关。
fx1x22x33x41五．求线性方程组3x15x210x37x45的通解。（18分）x5x10x9x523411答案：A3111r23r1r3r102→0611r22→0015107551095123241212120011r33r2220→0663110r3r21101→00003122002014220004011003
方程组的基础解系存在，且基础解系中含有2个解向量。原方程组等价于
x14x4r，令自由未知量x3x40，得方程组一个特解η0100Τ。x22x3x41x14x4x31x30，分别令，，代入同原方程组对应的齐次方程组等价于x22x3x4x40x41
解方程组得
x10x14，，则得对应齐次方程组的基础解系为：x22x21rrξ10210Τ，ξ24101Τrrrr。所以原方程组的通解为ξk1ξ1k2ξ2η（k1，k2为任意常数）
六．设二次型
22fx1x2x32x12x2x34x2x31、写出此二次型的系数矩阵A。rr2、用正交变换xPy将此二次型化为标准形，并求所用的正交变换矩阵P。（20分）
200答案：答案：1、系数矩阵为A012021λ200
2、detλEA
00
λ1
2
2＝λ1λ2λ3λ1
222
得A的特征值为λ11λ22，λ33。则化为标准形为fy12y23y3。对于λ11，解齐次方程组EAx0，对系数矩阵做初等行变换
r
r
f30EA0202rrEAx0等价
01002→0110002rx10Τ于，令x3r