FFxy
xx
yy

f
x
x
y


x
x
y

0
f
y
x
y


y

x
y

0
，解出的
x
y
就是函数
z

fxy的可能极值点
xy0
第十章：重积分
一、二重积分的相关性质
1有界闭区域上的连续函数fxy在该区域D上二重积分fxyd存在；D
2若函数fxy在有界闭区域D上二重积分存在fxyd，则fxy在该区域上有界；D
3中值性：若函数fxy在有界闭区域D上连续，区域D的面积为，则在D上至少存在一点，使得
Dfxydfxy41d，区域D的面积为
D
二、二重积分的计算1利用平面直角坐标计算二重积分
1先对y后对x积分，
由于积分区域Daxb；1xy2x，有
8
ffxyd
b
dx
2x
fxydy
a
1x
D
2先对x后对y积分，
由于积分区域Dcyd；1yx2y，有
fxyd
d
dy
2y
fxydx
D
c
1y
3积分换序：
b
dx
2xfxydy
fxyd
d
dy
2y
fxydx
a
1x
D
c
1y
2利用极坐标计算二重积分
x
令

y

cossi

，由于积分区域
D





；
1

x

2，有
fxyd

d
2fcossi
d
D

1
三、三重积分的相关性质：1dVV，区域的体积为V
四、三重积分的计算1利用直角坐标计算三重积分
积分区域V：axb；y1xyy2x；z1xyzz2xy，有
fxyxdV
b
dx
y2xdyz2xyfxyzdz

a
y1x
z1xy
第十一章：曲线积分曲面积分
一、曲线积分的计算1第一型曲线积分的计算：
xt若曲线C的参数方程是：ytt0tt1，则第一型曲线积分
fxydst1ftt2t2tdt
C
t0
2第二型曲线积分的计算：
xt
若曲线
C
的参数方程是：

y
t
t0tt1，t0
tAt1tB分别对应曲线的两个端点，则第一型曲线积分
PxydxQxydyt1PtttQtttdt
C
t0
3格林公式联系曲线积分和二重积分
设有界闭区域D由分段光滑曲线C所围成，C取正向，函数PxyQxy在D上具有一阶连续偏导数，则有格林公式
9
fC
Pdx
Qdy

D

r