xyz0表示的曲面在点Mx0y0z0的切平面和法线方程：
切平面线方程：FxMxx0FyMyy0FzMzz00
法方程：
xx0FxM

yy0FxM

zz0FzM
2以特殊式方程zfxy表示的曲面在点Mx0y0z0的切平面和法线方程：
令Fxyzfxyz0，有曲面在点Mx0y0z0的切平面的法向量

N

FxMFy
MFzM


f
x

x0

y0
f
y

x0

y01
切平面线方程：
f
x

x0

y0
x

x0


f
y

x0

y0y
y0z
z0
0
法方程：xx0yy0zz0
f
x

x0

y0

f
x

x0

y0

1
3方向导数与梯度：
f
1方向导数：
lim
fxxyyfxy
l0

2方向导数存在条件：可微分函数zfxy在一点沿任意方向l的方向导数都存在，并且
fzcoszcos，其中coscos是方向l的方向余弦
lx
y
3梯度：函数fxyz在点Mx0y0z0处的梯度
gradfx0y0z0fxx0y0z0ifyx0y0z0jfzx0y0z0k
4方向导数与梯度的关系：
①函数fxyz在点Mx0y0z0处增加最快的方向是其梯度gradfx0y0z0的方向，减小最快的方向是
gradfx0y0z0的方向②函数fxyz在点Mx0y0z0沿任意方向的方向导数的最大值为gradfx0y0z0
八、极值、条件极值
1函数zfxy的极值点和驻点的关系：函数zfxy的极值在其驻点或不可偏导点取得
7
f2求函数极值的步骤：
1对函数z

fx
y
求偏导数，解方程组

ff
x
y
xx
yy
00，得所有驻点xi
yi
2对每一个驻点xi
yi，求出二阶偏导数的值
A
f
xx
xi

yi

B

f
xy

xi

yi
C

f
yy
xi

yi


3计算B2AC，根据B2AC以及A的符号判定fxiyi是否是极值：
若B2AC0A0，则fxiyi是极小值；
若B2AC0A0，则fxiyi是极大值；
若B2AC0，则fxiyi不是极小值；
若B2AC0，则fxiyi是否是极值不能判定，需其他方法验证
3求函数zfxy在附加条件xy0下的条件极值的方法：
做拉格朗日函数Fxyfxyxy，对自变量xy求偏导，建立方程组
Fxxy
f
x

x
y


x

x
y

0

Fy

x
y

f
y
x
y


y
x
y

0
与附加条件联立的方程组
r