Qx

Py
dxdy

注：1可用第二型曲线积分计算该曲线所围成区域的面积：设有界闭区域D由取正向的光滑曲线C所围成，则区域D的面积为


dxdy
D

12
C

ydx
xdy

2函数PxyQxy在区域D上连续
二、曲面积分的计算1第一型曲面积分的计算：
若曲面S的方程是：zzxy具有连续偏导数，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数fxyz在S上连续，则第一型曲
面积分
S
fxyzdS
Dxy
fzyzzy
1
z
2x

z
2y
dxdy
2第二型曲面积分的计算：
若正向曲面S的方程是：zzxy，且在xoy平面上的投影区域为Dxy，函数Rxyz在S上连续，则第二型曲面积分
RxyzdxdyRxyzxydxdy，
S
Dxy
同理可得PxyzdydzRxyzyzdydz；
S
Dyz
QxyzdzdxQxyzxzdzdx
S
Dzx
3高斯公式联系曲面积分和三重积分
若函数PxyzQxyz在空间有界闭区域Ω及其光滑边界曲面S上具有连续偏导数，则
有高斯公式：
PdydzQdzdxRdxdy
S


Px

Qy

Rz
dxdydz
注：设空间有界闭区域Ω由光滑封闭曲面S所围成，则区域Ω的体积为
V

13
S
xdydz

ydzdx
zdxdy

4斯托克斯公式联系曲面积分和三重积分
若函数PxyzQxyz在光滑曲面S及其光滑的边界曲线C上具有连续偏导数，则有斯托克斯公式
L
Pdx

Qdy

Rdz

D

Ry

Qz
dydz


Pz

Rx
dzdx


Qx

Py
dxdy

三、曲线积分与路径无关的条件
1曲线积分
PxydxQxydy与路径无关；
CAB
2PxydxQxydy0；C
10
f3存在函数uxy，使得duPxydxQxydy；4QP
xy
第十二章：无穷级数
一、级数敛散性的相关性质
1

a

敛散

S




ak

敛散

1
k1

2
a

1
收敛

lim

a

0

3
lim

a


0


1
a

发散
4正项级数

i1
a

的部分和数列S

有界
级数
a
i1

收敛
5
a
i1

收敛
a
i1

收敛
二、级数敛散性判别
1正项级数敛散性判别
1比较判别法；
2比值判别法；
3根值判别法
2交错级数收敛性判别法：莱布尼兹判别法
3任意项级数敛性判别法：绝对收敛判别法
4两种常用级数收敛和发散的条件

1r