式22的迭代格式计算，结果如下表．
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f表21例21迭代公式计算结果
k
xkg1xk1
xkg2xk1
xkg3xk1
1
2375
033312
0559016994
xkg4xk1
1069044968
2
7256
3
37105
4
511016
138298720008230505931311955682
114163787811283710541130761119
5
0933227069
1130329416
6
1262386754
1130407355
7
0997054366
1130393283
8
1226542069
1130395823
9
103794814
1130395365
10
1200352976
1130395447
11
1065475174
1130395432
12
1181192785
1130395435
13
1084430833
1130395435
29
1127222584
30
1133074649
31
1128116321
32
1132322124
109
1130395429
110
1130396440
119
1130395434
120
1130395436
xkg5xk1
11960784311133020531113039987111303954351130395435
从表21中可以看到，选取迭代函数为g4x，g5x，分别12次和4次，得到方程的近似根1130395435．若选取g3x作为迭代函数，则k为奇数时迭代子序列单调增加，k为偶数时迭代子序列单调减小，迭代120次得到近似根1130395436．若选取g1x作为迭代函数，则迭代序列不收敛，若选取g2x为迭代函数，则出现了负数开方，因而无法继续进行迭代．
22不动点迭代算法的收敛性
通过例21，可以总结出，对于同一个非线性方程的求解问题，在转化为迭代方程
7
f时应该要使其解的迭代次数达到最小，且得到的解应该最精确在选择迭代函数gx
的基本原则是，首先必须保证不动点迭代序列x1x2xk在gx的定义中，以使迭代过程不至于中断；其次要求迭代序列xk收敛且尽可能收敛得快
定理212假设gx为定义在有限区间ab上的一个函数，它满足以下条件
（1）对任意xab有
gxab
24
（2）gx的导数gx在ab上有界，且存在正数L1使得对一切xab有
gxL1
25
那么对于任意初始值x0ab由不动点迭代22产生的序列都收敛于g在ab的唯一
不动点p，并且有误差估计式

ek

Lk1L

x1

x0

k1
26
其中ekxkp
证明首先证明g的不动点存在且唯一令hxxgx
据条件1
27
haaga0
hbbgb0
又据条件2，在gx上存在，因此gx在ab上连续，从而hx在ab上也连续，因此方程hx0在ab上至少有一个跟．现假设方程hx0在ab上有两个根
pqpq，则由Lagra
ge中值定理知，在p与q之间存在使得pqgpgqgpqgpq
再由25
gpqLpqpq
这就得到矛盾式：
pqpq
因此pq，即hx0在ab中的根是唯一的．
其次证明由不动点迭代格式22产生的序列xk是收敛于p的．根据定理条件1
xkab，k012，因此不动点迭代过程不会中断．由25式有
r