则A003C030D120
所以CA033DA123COD设
xyz为平面ACD的法向量则x向量法图3y3z0
CA0yx即解得令x1得
113z3x
DA0x2y3z0由Ⅰ知OA003为平面CDB的一个法向量






ByE




f
OA315所以cos
OA即二面角ACDB的平面角的余弦值为535
OA
155
18、证明：（Ⅰ）在长方体ABCDAB1C1D1中，1
因为A1B1面AD1DA，1所以AB1AD1．1在矩形AD1DA中，因为AAAD2，11所以AD1AD．所以AD1面A1B1D．1（Ⅱ）如图，在长方体ABCDAB1C1D1中，以D1为原点建立空间直角坐标系D1xyz．1依题意可知，
D1000A1200D002
，
A202
，
f设AB的长为x，则C10x0B12x0，
2C0x2E0x2．3
假设在棱AA1上存在点P，使得DP∥平面B1AE．设点P20y，则DP20y2，

AP00y2．
易知B1E2

12x2AE2x0．33
设平面B1AE的一个法向量为
abc，
12a3xb2c0B1E
0则，即．2AE
02axb03
33x，所以
x3x．22因为DP∥平面B1AE，等价于DP
0且DP平面B1AE．
令b3得，axc
23x0，所以y．32444所以AP00，AP，所以AP的长为．333
得2xy2（Ⅲ）因为CD∥A1B1，且点ECD，所以平面AB1E、平面A1B1D与面AB1CD是同一个平面．11
f由（Ⅰ）可知，AD1面A1B1D，所以D1A202是平面AB1E的一个法向量．1由（Ⅱ）可知，平面B1AE的一个法向量为
x3

3x．2
因为二面角AB1EA1的余弦值为
30，6
D1A
30所以cos6AD1
故AB的长为32．
2x3x322x9x22
2
，解得x32．
19、解：以D为坐标原点，直线DADCDD1分别为xyz轴，建立空间直角坐标系，设AEx，则
A1101D1001E1x0A100C020
（1）因为DA1D1E1011x10r