在x1处的连续性。
解：
limfxlimx23f1
x1
x1
limfxlim3x3f1
x1
x1
∴fx在x1处是连续的
dy

2x

3
6、（本题满分10分）求微分方程dx
的特解。
yx13
解：将原方程化为dy2x3dx
两边求不定积分，得dy2x3dx，于是yx23xC
将yx13代入上式，有313C，所以C1，
故原方程的特解为yx23x1。
7、（本题满分9分）求函数y2x4cos5x的定义域。
解：由题意可得，
x5
4x

00
解得

xx

45
f所以函数的定义域为4，5
8、（本题满分10分）设fxxx1x2x
2，求f0。解：f0limfxf0
x0x0limx1x2x

x0
9、（本题满分10分）设平面曲线方程为x22xy3y23，求曲线在点（2，1）处的切
线方程。
解：方程两端对x求导，得2x2yxy6yy0将点（2，1）代入上式，得y211
从而可得：切线方程为y1x2即xy30
10、（本题满分10分）求由曲线yex及直线y1和x1所围成的平面图形的面积（如
下图）．
解：所求阴影部分的面积为S1ex1dx0exx10e2
x
11、（本题满分10分）讨论函数
f
x

e
x

1
x0在x0处的连续性。
x0
解：
limfxlimex10f0
x0
x0
limfxlimx0f0
x0
x0
∴fx在x0处是连续的。
f12、（本题满分10分）求方程1y2dx1x2dy0的通解。解：由方程1y2dx1x2dy0，得
dy
dx
1y21x2
两边积分：dydx
1y21x2得arcta
yarcta
xC所以原方程的通解为：arcta
yarcta
xC或yta
arcta
xC
13、（本题满分10分）证明方程x57x4在区间12内至少有一个实根。
解：令Fxx57x4，Fx在12上连续
F1100，F2140由零点定理可得，在区间12内至少有一个，使得函数F5740，
即方程x57x40在区间12内至少有一个实根。
14、（本题满分10分）设fxxx1x2x2015，求f0。
解：f0limfxf0limx1x2x20152015
x0x0
x0
15、（本题满分10分）求曲线eyxye在点（0，1）处的法线方程。
解：方程两端对x求导，得eyyyxy0
将点（0，1）代入上式，得
y
01

1e
从而可得：法线方程为yex1
16、（本题满分10分）求曲线ycosx与直线y2x及y轴所围成平面图形的面积。2
解：作平面图形，如图示
f

S22cosxdx2xsi
x200
2si
0122
y22
ycosx0
x2
y2x
2
17、（本题满分10分）讨论函数
cosx
f

x


x

1
解：
limfxlimcosx1f0
x0
x0
x0在x0处的连续性r