点P为椭圆上的一个动点，且∠F1PF2的最大值为90°，直线l过左焦点F1与椭圆交于A、B两点，△ABF2的面积最大值为12．（1）求椭圆C的离心率；（2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设PFrPF211
r2F1F22c
对PF1F2由余弦定理得
cosF1PF2
2r11r224c2r1r222r1r24c24a24c24a24c21112e0，rr2r1r22r1r22r1r221222
f解出
e
22
（2）考虑直线l的斜率的存在性，可分两种情况：i当k存在时，设l的方程为椭圆方程为
ykxc①
得
x2y221Ax1y1Bx2y2由e22ab2
a22c2b2c2
于是椭圆方程可转化为将①代入②，消去
x22y22c20②
x22k2xc22c2012k2x24ck2x2c2k210
y得
整理为x的一元二次方程，得
222c1k2，AB1k2xx22c1k，212212k12k也可这样求解：kAB边上的高hFFsi
BFF2c121211k2SF1F2y1y2211k2kS22c2c212k21k2ckx1x2
则x1、x2是上述方程的两根．且x2x1
22c2
1k2kk2k422c222c212k14k24k4
2
1144kk2
2c2
ii当k不存在时，把直线xc代入椭圆方程得
y
21cAB2cS2c2c222
a2122
由①②知S的最大值为
2c2由题意得2c212所以c262b2
f故当△ABF2面积最大时椭圆的方程为：
x2122

y262
1
下面给出本题的另一解法请读者比较二者的优劣：设过左焦点的直线方程为：x
myc①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思）
22椭圆的方程为：xy1AxyBxy112222
a
b
由e
2得：2a2c2b2c2于是椭圆方程可化为：x22y22c20②2
把①代入②并整理得：m22y22mcyc20于是y1y2是上述方程的两根
ABx1x22y1y221m2y2y1
AB边上的高h
1m2
4m2c24c2m22m22

22c1m2m22
2c1m2

21m2从而S1ABh122c1m2c22c22222m2m2222c1m2
1m1
2
12m21
2c2
当且仅当m0取等号，即Smax由题意知2c212于是
2c2
b2c262a2122
x2122y2621
故当△ABF2面积最大时椭圆r