体ABCDA1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝2，E
是侧棱BB1的中点，则直线AE与平面A1ED1所成角的大小为
A．60°
B．90°
C．45°
D．以上都不对
【解析】以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图．
f→由题意知，A1102，E111，D1002，A100，所以A1E＝
→
→
01，－1，D1E＝11，－1，EA＝0，－1，－1．
设平面A1ED1的一个法向量为
＝x，y，z，

A→1E＝0，则
D→1E＝0
y－z＝0，
x＋y－z＝0
令z＝1，得y＝1，x＝0，所以
＝011，
→cos〈
，EA〉＝
→
EA
→
＝
－222＝－1

EA
→所以〈
，EA〉＝180°
所以直线AE与平面A1ED1所成的角为90°【答案】B2．在空间中，已知平面α过300和040及z轴上一点00，aa＞0，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________【解析】平面xOy的法向量为
＝001，设平面α的法向量
－3x＋4y＝0，为u＝x，y，z，则
－3x＋az＝0，
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝a3，a4，1
而cos〈
，u〉＝
a92＋11a62＋1＝22，
f又∵a＞0，∴a＝152
【答案】
125
3三棱柱ABCA1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1
夹角的余弦值为
图3231
A
55
B
53
25
3
C5
D5
【解析】不妨设CA＝CC1＝2CB＝2，
→
→
则AB1＝－221，C1B＝0，－21，
所以
→→cos〈AB1，C1B〉＝
→→AB1C1B
→→
AB1C1B
－2×0＋2×－2＋1×1
＝
9×5
＝－
55
因为直线
BC1与直线
AB1夹角为锐角，所以所求角的余弦值为
55
【答案】A
4如图，在直三棱柱A1B1C1ABC中，AB⊥AC，AB＝AC＝2，A1A＝4，点D是BC的中点．
f图32321求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；2求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值．
【解】1以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
Axyz，则A000，B200，C020，D110，A1004，C1024，
→
→
所以A1B＝20，－4，C1D＝1，－1，－4
因为
→→cos〈A1B，C1D〉＝
→→A1BC1D
→→
＝
1820×
18＝31010，
A1BC1D
所以异面直线
A1B
与
C1D
所成角的余弦值为3
1010
→
→
2设平面ADC1的法向量为
1＝x，y，z，因为AD＝110，AC1
→
→
＝024，所以
1AD＝0，
1AC1＝0，即x＋y＝0且y＋2z＝0，取z
＝1，得x＝2，y＝－2，所以
1＝2，－21是平面ADC1的一个法向
量．取平面AA1B的一个法向量为
2＝010，设平面ADC1与平面
ABA1所成二面角的大小为θ
f由cosθ＝
11
22＝
29×
1＝23，
得
si

θ＝
53
因此，平面
ADC1
与平面
ABA1
所成二面角的正弦值为
53
fr