解析】设平面xOz的法向量为
＝0，t0t≠0，AB＝13，
6，所以
→cos〈
，AB〉＝
→
AB
→
＝43tt，因为〈
，A→B〉∈0，π，

AB
→所以si
〈
，AB〉＝
1－43tt2＝
74
【答案】
74
7．已知点E，F分别在正方体ABCDA1B1C1D1的棱BB1，CC1
上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面
f角的正切值等于________．【解析】如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为
1＝001，平面
AEF的法向量为
2＝x，y，z．所以A100，E1，1，13，F0，1，23，所以A→E＝0，1，13，E→F＝－1，0，13，

2A→E＝0，则
2E→F＝0，
y＋13z＝0，即－x＋13z＝0
取x＝1，则y＝－1，z＝3故
2＝1，－13．
所以
cos〈
1，
2〉＝
11
22＝3
1111
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cosα
＝31111，si

α＝
1212，所以
ta

α＝
23
【答案】
23
三、解答题
8如图3230所示，在四面体ABCD中，O，E分别是BD，BC
f的中点，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝2
图32301求证：AO⊥平面BCD；2求异面直线AB与CD所成角的余弦值．
【解】1证明：连结OC，
由题意知BO＝DO，AB＝AD，
∴AO⊥BD
又BO＝DO，BC＝CD，∴CO⊥BD
在△AOC中，由已知可得AO＝1，CO＝3，
又AC＝2，∴AO2＋CO2＝AC2，
∴∠AOC＝90°，即AO⊥OC
∵BD∩OC＝O，∴AO⊥平面BCD
2以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
则B100，D－100，C0，3，0，A001，
E12，23，0，
→
→
∴BA＝－101，CD＝－1，－3，0，
f→→∴cos〈BA，CD〉＝
→→BACD
→→
＝
24
BACD
∴异面直线
AB
与
CD
所成角的余弦值为
24
9．四棱锥PABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．
1求证：平面AEC⊥平面PDB；
2当PD＝2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．
【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz，设AB＝a，
PD＝h，则
Aa00，Ba，a0，C0，a0，D000，P00，h，
→
→
→
1∵AC＝－a，a0，DP＝00，h，DB＝a，a0，
→→
→→
∴ACDP＝0，ACDB＝0，
∴AC⊥DP，AC⊥DB，又DP∩DB＝D，
∴AC⊥平面PDB，
又AC平面AEC，∴平面AEC⊥平面PDB
f2当PD＝2AB且E为PB的中点时，P00，2a，
E21a，12a，22a，设AC∩BD＝O，O2a，2a，0，连结OE，由1知AC⊥平面PDB
于O，
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角，
∵E→A＝21a，－21a，－22a，E→O＝0，0，－22a，
→→
∴cos∠AEO＝
EAEO→→
＝
22，
EAEO
∴∠AEO＝45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°
能力提升层次
1．已知在长方r